 |
A C. 1285. feladat (2015. március) |
C. 1285. Egy egyenlő szárú háromszögbe írható kör sugarának hosszát elosztjuk a körülírható kör sugarának hosszával. Legfeljebb mekkora lehet a kapott hányados?
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy háromszög köré írható körének a sugara \(\displaystyle R=\frac{abc}{4t}\), ahol \(\displaystyle t\) a háromszög területét jelöli, \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pedig az oldalait. A beírt kör sugara \(\displaystyle r=\frac {t}{s}\), ahol \(\displaystyle s\) a félkerület.
Mivel most egyenlő szárú háromszögről van szó, ezért \(\displaystyle R=\frac{a^2c}{4t}\), \(\displaystyle r=\frac{2t}{2a+c}\) és \(\displaystyle s=a+\frac c2\).
A Heron-képletből \(\displaystyle t^2=s(s-a)(s-a)(s-c)=\left(a+\frac c2\right)\cdot\frac c2\cdot \frac c2\cdot\left(a-\frac c2\right)\). A keresett arány:
\(\displaystyle \frac rR=\frac{2t}{2a+c}\cdot\frac{4t}{a^2c}=\frac{8t^2}{(2a+c)\cdot a^2c}=\frac{8(a+\frac c2)\cdot\frac{c^2}{4}(a-\frac c2)}{(2a+c)\cdot a^2c}=\)
\(\displaystyle =\frac{c(a-\frac c2)}{a^2}=\frac ca-\frac12\left(\frac ca\right)^2=\frac ca\left(1-\frac 12\cdot\frac ca\right).\)
Ez egy \(\displaystyle \frac ca\)-ra nézve másodfokú függvény, melynek grafikonja egy lefele álló parabola, aminek maximumhelye a két gyök számtani közepénél van. Mivel a két gyök 0 és 2, ezért a maximumhely az 1-ben van, ekkor \(\displaystyle a=c\), a háromszög szabályos, az arány pedig \(\displaystyle 1\cdot\frac{2-1}{2}=\frac12\).
Megjegyzés. Általában igaz, hogy a háromszög köré írható kör sugara legalább kétszerese a beírható kör sugarának. Lásd Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről.
Statisztika:
36 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Chourfi Abdel Karim, Egyházi Anna, Fehér Balázs, Fülöp Erik, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Mészáros 01 Viktória, Porupsánszki István, Szász Róbert, Várkonyi Lídia, Vida Máté Gergely (13 versenyző). 4 pontot kapott: Erdei Ákos, Fényes Balázs, Gema Szabolcs, Gracia Dániel, Kasó Ferenc, Lénárt Levente, Mándoki Sára, Pap-Takács Mónika, Sándor Gergely, Sipeki Gergely, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Telek Máté László, Török Réka , Varjas István Péter (15 versenyző). 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai