A C. 1567. feladat (2019. november)

C. 1567. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán:

\(\displaystyle 2x^2-4xy+4y^2-8x+16=0. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először írjuk fel a bal oldalt mint két teljes négyzet összege, ekkor az egyenletünk a következőképpen néz ki:

\(\displaystyle (x-4)^2+(x-2y)^2=0.\)

Bármely valós szám négyzete nemnegatív, így a bal oldalon két nemnegatív szám összege áll, ami csak úgy lehet 0, ha mindkét tag 0. Azaz \(\displaystyle x-4=0\) és \(\displaystyle x-2y=0\). Az elsőből kapjuk, hogy \(\displaystyle x=4\), ezt a második egyenlőségbe behelyettesítve adódik, hogy \(\displaystyle y=2\). Ezeket az értékeket a kiindulási egyenletbe visszahelyettesítve egyenlőséget kapunk.

Tehát az \(\displaystyle x=4\) és \(\displaystyle y=2\) számpár a megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

229 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	177 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai