A C. 1624. feladat (2020. október)

C. 1624. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle P\) pontját kössük össze \(\displaystyle D\)-vel, \(\displaystyle BC\) oldalának \(\displaystyle Q\) pontját pedig \(\displaystyle A\)-val, az így kapott szakaszok metszéspontját jelöljük \(\displaystyle R\)-rel. Az \(\displaystyle ARD\) háromszög területe 1200, az \(\displaystyle APR\) háromszög területe 600, a \(\displaystyle PBQR\) négyszög területe pedig \(\displaystyle 3380-240\sqrt{95}\) egység. Mekkora az \(\displaystyle RQCD\) négyszög területe?

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A megoldáshoz egészítsük ki a feladat elrendezését: az \(\displaystyle AQ\) egyenesének és a \(\displaystyle CD\) oldal egyenesének metszéspontját jelöljük \(\displaystyle E\)-vel, továbbá a \(\displaystyle P\) pontban \(\displaystyle AB\)-re állított merőleges egyenes és \(\displaystyle AQ\) metszéspontja legyen \(\displaystyle F\).

Az \(\displaystyle APR\) és \(\displaystyle ARD\) háromszögek közös \(\displaystyle A\) csúcsából kiinduló magassága megegyezik, mert a két szemközti oldal egy egyenesre esik. A két háromszög területének aránya ezért megegyezik az \(\displaystyle A\)-val szemközti oldalhosszak arányával: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{t_{APR}}{t_{ARD}}=\frac{600}{1200}=\frac12=\frac{PR}{RD}}\).

A továbbiakban felhasználjuk azt az összefüggést, hogy ha két hasonló síkidom hasonlóságának aránya \(\displaystyle \lambda\), akkor a területük aránya \(\displaystyle \lambda^2\).

Az \(\displaystyle ARD\triangle\) és \(\displaystyle FRP\triangle\) hasonlóak (mert szögeik páronként megegyeznek: \(\displaystyle R\)-nél csúcsszögek, a másik két szögpár pedig váltószög), a hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac12\), ezért \(\displaystyle t_{RPF}=\frac{1200}{4}=300\).

Az \(\displaystyle APF\triangle\) és az \(\displaystyle ABQ\triangle\) is hasonlóak (mert szögeik páronként egyállású szögek, azaz megegyeznek), területük aránya \(\displaystyle \displaystyle{\frac{t_{APF}}{t_{ABQ}}=\frac{900}{600+(3380-240\sqrt{95})}}=\frac{900}{3980-240\sqrt{95}}\). Ekkor a hasonlóság aránya, ami az oldalak aránya, ezen tört négyzetgyöke:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{900}{3980-240\sqrt{95}}}=\frac{30}{60-2\sqrt{95}}=\frac{15}{30-\sqrt{95}}.\)

(Abban, hogy a nevező teljes négyzetként felírható, csak reménykedhettünk. Valóban, rövid számolással ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle (60-2\sqrt{95})^2=3980-240\sqrt{95}\).)

Ugyanakkor az \(\displaystyle APR\triangle\) hasonló az \(\displaystyle ERD\triangle\)-höz (szögeik páronként megegyeznek: \(\displaystyle R\)-nél csúcsszögek találhatóak, a másik két szögpár pedig váltószög), a hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{PR}{RD}=\frac12\). Így \(\displaystyle ED=2AP\), azaz \(\displaystyle ED\) a négyzet oldalának \(\displaystyle \displaystyle{\frac{30}{30-\sqrt{95}}}\)-szerese; továbbá a háromszögek területének aránya \(\displaystyle \frac14\), azaz \(\displaystyle t_{ERD}=4\cdot 600=2400\).

Végül vizsgáljuk az \(\displaystyle ECQ\triangle\) és \(\displaystyle EDA\triangle\) hasonlóságát (szögek páronként egyállásúak). A \(\displaystyle CE\) szakasz a négyzet oldalához képest annak \(\displaystyle \displaystyle{\frac{30}{30-\sqrt{95}}-1=\frac{\sqrt{95}}{30-\sqrt{95}}}\)-szerese. A két háromszög hasonlóságának aránya ezért \(\displaystyle \frac{EC}{ED}=\frac{\sqrt{95}}{30}\). A területek aránya ennek négyzete: \(\displaystyle \frac{t_{ECQ}}{t_{EDA}}=\frac{t_{ECQ}}{3600}=\frac{95}{900}\), ahonnan \(\displaystyle t_{ECQ}=380\).

Így meghatározható az \(\displaystyle RQCD\) négyszög területe: \(\displaystyle t_{RQCD}=t_{EDR}-t_{ECQ}=2400-380=2020\).

2. megoldás. Vegyünk fel egy koordinátarendszert úgy, hogy

\(\displaystyle A=(0,0),\ B=(a,0),\ C=(a,a),\ D=(0,a)\)

legyen, ahol \(\displaystyle a\) a négyzet oldalának hossza, így a négyzet területe \(\displaystyle t=a^2\). Legyen \(\displaystyle R=(\alpha a,\beta a)\), itt \(\displaystyle 0<\alpha,\beta<1\).

Az \(\displaystyle ARD\) háromszög \(\displaystyle AD\) alapja \(\displaystyle a\) hosszú, ehhez tartozó magassága pedig \(\displaystyle \alpha a\), így

\(\displaystyle t_{ARD}=\frac{\alpha}{2} t.\)

A \(\displaystyle D\) pontból \(\displaystyle \frac{1}{1-\beta}\) arányban kell nagyítanunk, hogy az \(\displaystyle R\) pont képe \(\displaystyle AB\) egyenesére (\(\displaystyle P\)-be) kerüljön, így \(\displaystyle P=(\alpha a/(1-\beta),0)\). Így

\(\displaystyle t_{APD}=\frac{AP\cdot AD}{2}=\frac{\alpha}{2(1-\beta)}t.\)

Az eddigiek alapján

\(\displaystyle 1-\beta=\frac{t_{ARD}}{t_{APD}}=\frac{t_{ARD}}{t_{ARD}+t_{APR}}=\frac{1200}{1200+600}=\frac23,\)

vagyis \(\displaystyle \beta=\frac13\).

Az \(\displaystyle A\) pontból \(\displaystyle \frac{1}{\alpha}\) arányban kell nagyítanunk, hogy \(\displaystyle R\) képe \(\displaystyle BC\)-re (\(\displaystyle Q\)-ba) kerüljön, így \(\displaystyle Q=(a,\beta a/\alpha)\). Ezért

\(\displaystyle t_{ABQ}=\frac{AB\cdot BQ}{2}=\frac{\beta}{2\alpha}t=\frac{1}{6\alpha}t.\)

Mivel \(\displaystyle t_{ARD}=\frac{\alpha}{2} t\) és \(\displaystyle t_{ABQ}=\frac{1}{6\alpha}t\), ezért a két egyenletet összeszorozva \(\displaystyle t\) meghatározható az alábbi számolás szerint:

\(\displaystyle t_{ARD}\cdot t_{ABQ}=\frac{\alpha}{2} t\cdot \frac{1}{6\alpha}t,\)

\(\displaystyle 1200\cdot (600+3380-240\sqrt{95})=\frac{1}{12}t^2,\)

\(\displaystyle \sqrt{12\cdot 1200\cdot (3980-240\sqrt{95})}=t,\)

\(\displaystyle 120\sqrt{3980-240\sqrt{95}}=t,\)

\(\displaystyle 240\sqrt{995-60\sqrt{95}}=t,\)

\(\displaystyle 240(30-\sqrt{95})=t,\)

hiszen a \(\displaystyle 30-\sqrt{95}\) pozitív szám négyzete \(\displaystyle 995-60\sqrt{95}\). Tehát \(\displaystyle t=240(30-\sqrt{95})=7200-240\sqrt{95}\).

A \(\displaystyle t_{ARD}=\frac{\alpha}{2}t\) egyenletből \(\displaystyle \alpha=2t_{ARD}/t=\frac{2400}{7200-240\sqrt{95}}=\frac{10}{30-\sqrt{95}}\approx 0,49\), és könnyen ellenőrizhető, hogy ha a négyzet oldalhosszát \(\displaystyle a=\sqrt{t}=\sqrt{7200-240\sqrt{95}}\)-nek választjuk, \(\displaystyle R\)-et pedig a kapott \(\displaystyle \alpha,\beta\) értékek szerint választjuk meg, akkor teljesülnek a területekre szabott feltételek, \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DR\) metszéspontja lesz \(\displaystyle P\), \(\displaystyle AR\) és \(\displaystyle BC\) metszéspontja pedig \(\displaystyle Q\). (Ehhez ugyanazokat az egyenleteket kell tekinteni, amelyek segítségével a fentiekben meghatároztuk \(\displaystyle a\), \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) értékét. Mindez tehát azt jelenti, hogy létezik a feladatban előírt feltételeknek eleget tevő négyzet.)

A feladat az \(\displaystyle RQCD\) négyszög területét kérdezi, ez az eddigiek alapján a következőképpen kapható:

\(\displaystyle t_{RQCD}=t-t_{ARD}-t_{APR}-t_{PBQR}=7200-240\sqrt{95}-1200-600-(3380-240\sqrt{95})=2020.\)

Tehát az \(\displaystyle RQCD\) négyszög területe 2020 egység.

Statisztika:

A C. 1624. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai