Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1629. feladat (2020. október)

C. 1629. Egy gömb átmegy egy 8 egység élű kocka egyik lapjának négy csúcsán és érinti a szemközti lapot. Határozzuk meg a gömb sugarát.

(Horvát feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás.

Legyen a lap, aminek négy csúcsán átmegy a gömb \(\displaystyle ABCD\), a lap középpontja \(\displaystyle P\), a szemközti lap középpontja pedig \(\displaystyle Q\), a gömb sugarát pedig jelölje \(\displaystyle r\). Mivel a gömb átmegy az \(\displaystyle A,B,C,D\) pontok mindegyikén, így \(\displaystyle O\) középpontja illeszkedik ezen pontok közül bármely kettő felezőmerőleges síkjára. Ezen síkok metszete a \(\displaystyle P\) pontban az \(\displaystyle ABCD\) síkjára állított merőleges egyenes, vagyis a \(\displaystyle PQ\) egyenes. A gömb \(\displaystyle O\) középpontja tehát a \(\displaystyle PQ\) egyenesre esik. Csak a \(\displaystyle Q\) végpontú, \(\displaystyle P\)-t tartalmazó félegyenesen lehet, hiszen különben \(\displaystyle OQ<OP<OA\) miatt a feltételek nem teljesülhetnének. Tehát \(\displaystyle O\) a \(\displaystyle QP\) félegyenes azon pontja, mely \(\displaystyle r\) távolságra van \(\displaystyle Q\)-tól (hiszen a gömb érinti az \(\displaystyle ABCD\)-vel szemközti lapot, és mivel \(\displaystyle OQ\) merőleges a lapra, ezért az érintési pont \(\displaystyle Q\)): \(\displaystyle QO=r\). Mivel a feltételek szerint \(\displaystyle OA=OB=OC=OD=r\) szintén teljesül, ezért a Pitagorasz-tétel alapján

\(\displaystyle r^2=OA^2=AP^2+PO^2=\frac{1}{4}AC^2+(8-r)^2=\frac{1}{4}(8^2+8^2)+(8-r)^2=r^2-16r+96,\)

amiből \(\displaystyle r=96/16=6\). (A számolás során használtuk, hogy \(\displaystyle PQ=8\), ugyanis \(\displaystyle PQ\) merőleges az \(\displaystyle ABCD\) síkra, és a kocka szemköztes lapjainak távolsága a kocka élhossza.)

Tehát a gömb sugara \(\displaystyle r=6\).


Statisztika:

A C. 1629. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai