Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1719. feladat (2022. április)

C. 1719. Tekintsük az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög azon \(\displaystyle P\) belső pontjait, amelyekből az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle 135^{\circ}\)-os szögben látszik. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle PA\), \(\displaystyle PB\), \(\displaystyle PC\) szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög, és a \(\displaystyle P\) pont bármely, a feltételnek megfelelő elhelyezkedése esetén ennek a háromszögnek az egyik szöge mindig ugyanakkora.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz fölé, az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejébe rajzolt \(\displaystyle k\) látószögköríven helyezkedik el és nyilván nem esik egybe sem az \(\displaystyle A\), sem a \(\displaystyle B\) ponttal. (Lásd a látószögkörívvel is kapcsolatos rövid cikket honlapunkon.) A feltétel miatt ebből az következik, hogy \(\displaystyle BPA\sphericalangle=135^{\circ}\). Forgassuk el az \(\displaystyle A\) pont körül a \(\displaystyle PC\) szakaszt negatív irányba \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal. A \(\displaystyle C\) pont képe nyilván \(\displaystyle B\), a \(\displaystyle P\) pont képét \(\displaystyle P'\)-vel jelöltük.

Megjegyzés. Bizonyítható, hogy ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög bármely belső pontja, a \(\displaystyle PA, PB, PC\) szakaszokból akkor is szerkeszthető háromszög. Ekkor a feladatnak a háromszög egyik szögére vonatkozó állítása általános esetben már nem teljesül.


Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fekete Patrik, Halász Henrik, Horváth Milán, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Nagy Daniella, Pekk Márton, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szittyai Anna, Waldhauser Miklós, Werner Kinga.
3 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai