A C. 1803. feladat (2024. március)

C. 1803. Hány olyan pozitív egész számokból álló számhármas van, amelyben a három szám legnagyobb közös osztója \(\displaystyle 4\), legkisebb közös többszöröse pedig \(\displaystyle 2024\)?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mindhárom szám osztható \(\displaystyle 4\)-gyel, ezért felírhatjuk \(\displaystyle 4k\), \(\displaystyle 4l\), \(\displaystyle 4m\) alakban, ahol \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\), \(\displaystyle m\) pozitív egész. Ekkor \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\), \(\displaystyle m\) legnagyobb közös osztója nyilvánvalóan \(\displaystyle 1\), legkisebb közös többszöröse \(\displaystyle \frac{2024}{4}=506=2 \cdot 11 \cdot 23.\) Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\), \(\displaystyle m\) prímtényezős felbontásában nincs más prímtényező, csak a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 11\) és \(\displaystyle 23\). Mindháromban nem szerepelhet ugyanaz a prímtényező, de mindegyiknek legalább az egyikben szerepelnie kell. Ebből következően mindhárom prím hatványkitevője csak \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle 1\) lehet, és össze kell számolnunk, hogy ez hányféleképpen lehetséges. Ezt esetek vizsgálatával fogjuk megtenni úgy, hogy a \(\displaystyle 2\)-es és a \(\displaystyle 11\)-es kitevőjét rögzítjük mindhárom számban és megszámoljuk, hogy egy vagy két \(\displaystyle 23\)-ast hányféleképpen tudunk melléjük elhelyezni. Nyolc eset van.

1. eset. Egy \(\displaystyle 2\)-est és egy \(\displaystyle 11\)-est beteszünk a \(\displaystyle k\) számba, ekkor az egy vagy két darab \(\displaystyle 23\)-ast az alábbi négy táblázatban feltüntetett módon tudjuk melléjük elhelyezni.

Nincs több lehetőség, mert ha például a \(\displaystyle 2.\) táblázatban a \(\displaystyle 23\)-ast nem az \(\displaystyle l\)-hez, hanem az \(\displaystyle m\)-hez írjuk, az ugyanazt a számhármast eredményezi, hiszen nem rendezett számhármasokról van szó.

2. eset Egy \(\displaystyle 2\)-est a \(\displaystyle k\) számhoz írunk, és egy-egy \(\displaystyle 11\)-est beírunk az \(\displaystyle l\) és az \(\displaystyle m\) számhoz. Ekkor az egy vagy két darab \(\displaystyle 23\)-ast az \(\displaystyle 1.\) esethez hasonlóan négy különböző módon helyezhetjük el, mert ez alkalommal is felcserélhető az \(\displaystyle l\) és az \(\displaystyle m\) szerepe.

3. eset Egy-egy \(\displaystyle 2\)-est a \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle l\) számhoz is beírunk, és egy \(\displaystyle 11\)-est az \(\displaystyle m\) számhoz teszünk. Most a \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle l\) cserélhető fel, így ez az eset is négy különböző számhármast eredményez.

4. eset Egy-egy \(\displaystyle 2\)-est, valamint egy-egy \(\displaystyle 11\)-est a \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle l\) számhoz is beírunk. Most is a \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle l\) cserélhető fel, így ez az eset is négy különböző számhármast eredményez.

5–8. eset Innentől már csak olyan esetek maradtak, ahol a három szám a \(\displaystyle 2\)-esek és \(\displaystyle 11\)-esek kiosztása után különbözik, így a \(\displaystyle 23\)-as vagy \(\displaystyle 23\)-asok kiosztása \(\displaystyle 6\)-féleképpen történhet. Például ha egy \(\displaystyle 2\)-est a \(\displaystyle k\) számhoz, egy \(\displaystyle 11\)-est pedig az \(\displaystyle l\) számhoz írunk, akkor az egy darab \(\displaystyle 23\)-ast bármelyikhez írva három különböző számhármast kapunk. Ha pedig két \(\displaystyle 23\)-ast osztunk ki, azt is háromféleképpen tehetjük meg, például aszerint, hogy melyikhez nem teszünk \(\displaystyle 23\)-ast a háromból. Így \(\displaystyle 3+3=6\) számhármast kapunk ebben az esetben.

Teljesen hasonlóan járhatunk el, ha a \(\displaystyle k\) számhoz írunk egy \(\displaystyle 2\)-est is és egy \(\displaystyle 11\)-est is, az \(\displaystyle l\)-hez pedig egy \(\displaystyle 11\)-est. (6. eset). A 7. esetben egy-egy \(\displaystyle 2\)-est írunk a \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle l\) számhoz és egy \(\displaystyle 11\)-est a \(\displaystyle k\)-hoz, míg az utolsó eset annyiban tér el az előzőtől, hogy egy \(\displaystyle 11\)-est még beírunk az \(\displaystyle m\) számhoz. Ezek az esetek hat-hat számhármast eredményeznek.

Összesen \(\displaystyle 4 \cdot 4 + 4 \cdot 6=16+24=40\) megfelelő számhármas van.

2. megoldás. Az 1. megoldás elején tett megállapítások miatt az eseteket oly módon is szétbonthatjuk, hogy a három számban összesen egyszer vagy kétszer szerepelnek az egyes prímtényezők, azaz \(\displaystyle 2^3=8\) esetet vizsgálunk.

1. eset. Ha a három prímtényező mindegyike egyszer szerepel, akkor az \(\displaystyle 5\) különböző módon lehetséges, ahogy azt az alábbi 5 táblázat szemlélteti.

2. eset. Ha a \(\displaystyle 2\)-es kétszer szerepel, az azt jelenti, hogy abban az oszlopban két darab \(\displaystyle 1\)-est írunk a táblázatba és egy darab nullát, míg az 1. esetben egy darab \(\displaystyle 1\)-es szerepelt és két darab \(\displaystyle 0\), ezért az esetek száma ugyanannyi lesz, hiszen két azonos és egy harmadik, a többitől eltérő elemet mozgatunk mindkét esetben.

3–8. eset. A 2. esetnél leírtak miatt minden további esetben \(\displaystyle 5\) különböző számhármast kapunk.

Összesen \(\displaystyle 8 \cdot 5=40\) megfelelő számhármas van.

Statisztika:

149 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Balogh Péter, Barna Márton, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Budai Máté, Danka Emma, Derűs Ádám , Domján István, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jeviczki Ádám, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Miskolczi Máté Pál, Mizsei Márton, Molnár-Sáska Tamás, Monoczki Máté, Nagy Huba, Palásthy Bánk, Simon Bálint, Sipos Márton, Szabó Donát, Szamkó Hanna, Tajta Sára, Török Eszter Júlia, Viczián Márk, Volford Barnabás.
4 pontot kapott:	Ai Le, Braun Zsófia, Komlósdi Sára, Máté Kristóf, Rasztgyörgy Jázmin, Wodala Gréta Klára.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	41 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	14 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai