Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1820. feladat (2024. szeptember)

C. 1820. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c>0\) és \(\displaystyle a+b+c=1\), akkor

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+a}+\frac{1-c^2}{a+b}=4}\),

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1-a^3}{b+c}+\frac{1-b^3}{c+a}+\frac{1-c^3}{a+b}\geq \frac{13}{3}}\).

Javasolta: Bencze Mihály, Brassó

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) A bizonyítandó egyenlőség bal oldalán szereplő törtek nevezői a feltétel miatt pozitívak, számlálói pedig szorzattá alakíthatók:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \displaystyle{\frac{(1-a)(1+a)}{b+c}+\frac{(1-b)(1+b)}{c+a}+\frac{(1-c)(1+c)}{a+b}}.\)

Mivel \(\displaystyle a+b+c=1\), ezért

\(\displaystyle 1-a=b+c;\quad 1-b=c+a; \quad 1-c=a+b,\)

ezért (1) a következőképpen is írható:

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{(b+c)(1+a)}{b+c}+\frac{(c+a)(1+b)}{c+a}+\frac{(a+b)(1+c)}{a+b}},\)

egyszerűsítés után a bal oldal értéke

\(\displaystyle (1+a)+(1+b)+(1+c),\)

ebből pedig \(\displaystyle a+b+c=1\) alapján az következik, hogy a bal oldali törtek összege \(\displaystyle 4\), és éppen ezt akartuk bizonyítani.

\(\displaystyle b)\) Az \(\displaystyle 1-a^3\), \(\displaystyle 1-b^3\), \(\displaystyle 1-c^3\) kifejezések szorzattá alakíthatók:

\(\displaystyle \displaystyle{1-a^3=(1-a)(1+a+a^2);\quad 1-b^3=(1-b)(1+b+b^2);\quad 1-c^3=(1-c)(1+c+c^2)},\)

ezért a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán

\(\displaystyle \displaystyle{S=\frac{(1-a)(1+a+a^2)}{b+c}+\frac{(1-b)(1+b+b^2)}{c+a}+\frac{(1-c)(1+c+c^2)}{a+b}}\)

áll.

Ebből

\(\displaystyle 1-a=b+c;\quad 1-b=c+a;\quad 1-c=a+b\)

felhasználásával azt kapjuk, hogy a bal oldal:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle S=1+a+a^2+1+b+b^2+1+c+c^2.\)

A (2) összefüggésből \(\displaystyle a+b+c=1\) szerint az következik, hogy

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle S=4+a^2+b^2+c^2.\)

Alkalmazzuk a pozitív \(\displaystyle a,b,c\) számokra a négyzetes és számtani közép közötti egyenlőtlenséget: \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}},\) tehát

\(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{1}{3}},\)

innen pedig négyzetre emeléssel és rendezéssel kapjuk, hogy

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle \displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}}.\)

A (3) és (4) összefüggések összevetésével adódik, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{S=4+a^2+b^2+c^2\geq 4+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}},\)

és ezt kellett bizonyítanunk.

Egyenlőség pontosan akkor van, ha a négyzetes és a számtani közép közötti egyenlőtlenségben az egyenlőség esete áll fenn, vagyis, ha \(\displaystyle \displaystyle{a=b=c=\frac{1}{3}}\).


Statisztika:

265 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:100 versenyző.
4 pontot kapott:13 versenyző.
3 pontot kapott:80 versenyző.
2 pontot kapott:25 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:31 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai