 |
A C. 1839. feladat (2025. január) |
C. 1839. Adott két párhuzamos egyenes és az egyiken két pont, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Szerkesszük meg az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontját úgy, hogy csak egy darab egyélű vonalzót használhatunk.
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos egyenesen vegyük fel a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle AB>CD\). Ekkor \(\displaystyle ABCD\) trapéz, amelynek átlói az \(\displaystyle E\) pontban, \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) szárainak egyenesei az \(\displaystyle F\) pontban metszik egymást.
Azt állítjuk, hogy az \(\displaystyle FE\) egyenes felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt. Tekintsük a következő ábrát, amelyen az \(\displaystyle EF\) egyenes az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle H\) pontban, az \(\displaystyle AB\) egyenessel az \(\displaystyle E\) ponton keresztül rajzolt párhuzamos az \(\displaystyle AD\), illetve \(\displaystyle BC\) egyenest az \(\displaystyle I\), illetve \(\displaystyle J\) pontokban metszi.
Először igazolni fogjuk, hogy \(\displaystyle IE=JE\), azaz \(\displaystyle x=y\).
A párhuzamos szelők tétele alapján
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{DI}{DA}=\frac{CJ}{CB}},\) |
illetve
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{FI}{FA}=\frac{FJ}{FB}}.\) |
Az \(\displaystyle ADB\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle IE\) és a \(\displaystyle BCA\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle JE\) szakaszokra felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét:
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{AB}=\frac{DI}{DA},\qquad \frac{y}{AB}=\frac{CJ}{CB}},\)
ahonnan (1)-ből azonnal következik, hogy \(\displaystyle x=y\) valóban teljesül.
Az \(\displaystyle AFH\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle IE=x\) és \(\displaystyle AH\), valamint a \(\displaystyle BFH\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle JE=y\) és \(\displaystyle BH\) szakaszokra alkalmazhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét:
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{AH}=\frac{FI}{FA}, \qquad \frac{y}{BH}=\frac{FJ}{FB}},\)
ahonnan \(\displaystyle x=y\) és (2) szerint \(\displaystyle AH=BH\) adódik.
Bizonyítottuk tehát, hogy a csak egyélű vonalzó használatával szerkesztett \(\displaystyle FB\) egyenes felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt.
Megjegyzések. 1) A fentihez hasonlóan bizonyítható, hogy az \(\displaystyle FE\) egyenes a \(\displaystyle CD\) szakaszt is felezi.
2) A feladat azonos a geometriai feladatok gyűjteménye I. 1246. sorszámú feladatával, az \(\displaystyle x=y\) állítás pedig az 1244. feladattal, utóbbi állítás általánosítását az 1248. feladat tartalmazza.
3) A megoldásban látott módszerrel az is igazolható, hogy egyélű vonalzó felhasználásával az \(\displaystyle AB\) egyenesen az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszának egész számú többszörösei is megszerkeszthetők.
4) Ha adott az \(\displaystyle AB\) szakasz és annak felezőpontja, akkor csupán egyélű vonalzó segítségével az \(\displaystyle AB\) egyenesre nem illeszkedő tetszőleges ponton keresztül párhuzamost szerkeszthetünk \(\displaystyle AB\)-vel. Ez a feladat megfordítása.
Statisztika:
A KöMaL 2025. januári matematika feladatai