 |
A C. 1840. feladat (2025. január) |
C. 1840. Legyen \(\displaystyle -20{,}25<K<0\). Oldjuk meg az
$$\begin{gather*} x+y+z=K,\\ x^3+y^3+z^3=1,\\ xyz=-2024 \end{gather*}$$egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán.
Javasolta: Berkó Erzsébet (Szolnok)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy a megadott feltételek mellett az egyenletrendszernek nincsenek valós megoldásai. Ehhez a háromtagú összeg köbére és négyzetére vonatkozó ismert azonosságokat fogjuk felhasználni. Az ismert azonosságot alkalmasan átalakítjuk:
\(\displaystyle (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y+3x^2z+3xy^2+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz=\)
\(\displaystyle = x^3 + y^3 + z^3 +3x^2y+3xyz+3x^2z+3xy^2+3y^2z+3xyz+3xyz+3yz^2+3xz^2-3xyz=\)
\(\displaystyle =x^3 + y^3 + z^3+3x(xy+yz+zx)+3y(xy+yz+zx)+3z(xy+yz+zx)-3xyz=\)
\(\displaystyle =x^3 + y^3 + z^3 + 3((x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz).\)
Ebbe a megadott feltételek alapján behelyettesítve:
\(\displaystyle K^3 = 1 + 3(K(xy + yz + zx) + 2024),\)
amiből
\(\displaystyle xy + yz + zx = \frac{K^3 - 6073}{3K}.\)
Most felhasználjuk a szintén jól ismert \(\displaystyle (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\) azonosságot. Rendezés után
\(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx)\)
adódik, amelybe behelyettesítünk:
\(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = K^2 - \frac{2 \cdot (K^3 - 6073)}{3K}=\frac{K^3 + 12146}{3K}.\)
Az első feltétel alapján \(\displaystyle -20,25 < K < 0,\) amiből \(\displaystyle -8303,\!765625 < K^3 < 0\), így \(\displaystyle K^3+12146\) biztosan pozitív, míg \(\displaystyle 3K<0\), így a kapott tört számlálója minden \(\displaystyle -20,25 < K < 0\) esetén pozitív, a nevezője pedig negatív. Ebből következően a tört értéke negatív, ezért ekkor \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2\) negatív. Ám három valós szám négyzetösszege nem lehet negatív, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.
Statisztika:
89 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Aaishipragya Kahaly, Bara Boglárka , Barna 201 Krisztina, Bense Tamás, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Csáti Ambrus, Danka Emma, Farkas Máté, Harangozó Gergő, Holló Barnabás, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Kun Milán, Kun Zsófia, Lovas Márk, Maróti Olga, Máté Kristóf, Máté Zsófia, Mezei Marcell, Mihály Attila, Miszori Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Monoczki Máté, Nagypál Katóca, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Palásthy Bánk, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Péter Tamás, Pink István, Poczai Dorottya, Rózsa Zsombor, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szmodics Emese Anna, Timár Vince , Tóth Luca, Válek Péter, Yan Zhebeier. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 7 dolgozat.
A KöMaL 2025. januári matematika feladatai