Problem C. 1845. (February 2025)

C. 1845. Ezekiel multiplied two integers together. One of the factors was 74 greater than the other. He made a mistake during the multiplication, as he accidentally wrote a digit that was 3 less than it should have been in the tens place of the product. When checking the multiplication by dividing by the smaller factor, he got exactly 61 as the quotient. What could the two numbers have been?

Proposed by: Gergely Sánta, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a kisebbik szám \(\displaystyle x\), ekkor a nagyobbik \(\displaystyle x+74\). Két esetet vizsgálunk az \(\displaystyle x(x+74)\) szorzat előjele alapján.

1. eset. Amennyiben két pozitív vagy két negatív számot szorzott össze, a szorzat pozitív, ezért Ezékiel a helyes eredménynél \(\displaystyle 30\)-cal kevesebb kapott. Felírjuk az \(\displaystyle x(x+74)-30=61x\) másodfokú egyenletet, rendezzük: \(\displaystyle x^2+13x-30=0,\) a megoldások \(\displaystyle x_1=2, ~~x_2= -15\); de a \(\displaystyle -15\) nem jó, mert a \(\displaystyle -15\) és a \(\displaystyle -15+74=59\) nem azonos előjelű.

2. eset. Negatív szorzat esetén, ha a tízes helyiértéken álló számjegyet \(\displaystyle 3\)-mal csökkentjük, a szám abszolút értéke csökken, vagyis nagyobb számot kapunk. Tehát a hibás eredmény \(\displaystyle 30\)-cal nagyobb a helyes értéknél, így most az \(\displaystyle x(x+74)+30=61x\) egyenletet oldjuk meg, amiből \(\displaystyle x_1=-3, ~~ x_2=-10\) adódik, ezek előjel szempontjából megfelelőek.

Ellenőrizzük a megoldást.

Ha \(\displaystyle x=2\), akkor \(\displaystyle x+74=76\), szorzatuk \(\displaystyle 2 \cdot 76=152,\) valamint \(\displaystyle \frac{122}{2}=61\), így jó megoldást kaptunk.

Ha \(\displaystyle x=-3\), akkor \(\displaystyle x+74=71\), szorzatuk \(\displaystyle -3 \cdot 71=-213,\) és a tízesek helyiértékén \(\displaystyle 1\) áll, amelynél nincs \(\displaystyle 3\)-mal kisebb számjegy, ezért ezt kizárjuk a megoldások közül.

Ha \(\displaystyle x=-10\), akkor \(\displaystyle x+74=64\), szorzatuk \(\displaystyle -10 \cdot 64=-640,\) valamint \(\displaystyle \frac{-610}{-10}=61\), így ez szintén jó megoldás.

Válasz: A két szám a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 76\) vagy a \(\displaystyle -10\) és a \(\displaystyle 64\) lehetett.

Statistics:

198 students sent a solution.
5 points:	Bartusková Viktória, Békési Máté, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Blaskovics Bálint, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Csikós Annamária, Farkas András, Fülöp Magdaléna, Gönczi Botond, Halász Tamás, Harangozó Gergő, Hetyei Dániel, Hodossy-Takács Ráhel, Ivák László, Iván Máté Domonkos, Kajati Csilla, Kókai Ákos, Kóródy Vera, Lovas Márk, Malinkó Dioméd, Masa Barnabás, Mateas Isabelle, Medgyesi Júlia, Miskolczi Máté Pál, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagypál Katóca, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Pintér Lilianna, Poczai Dorottya, Simon Kornél, Sipos Ferenc László, Sipos Levente, Sisák Barbara, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szmodics Emese Anna, Tóth Luca, Viczián Adél, Winkler-Antal Dalma, Zsemlye Zsóka.
4 points:	7 students.
3 points:	4 students.
2 points:	48 students.
1 point:	52 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	19 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025