A C. 1846. feladat (2025. február)

C. 1846. A \(\displaystyle 11\)-gyel osztható ötjegyű palindromszámok hányadrésze nem osztható \(\displaystyle 121\)-gyel? (A palindromszám olyan pozitív egész szám, amely visszafelé olvasva megegyezik az eredetivel.)

Javasolta: Németh László, Fonyód

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a szám \(\displaystyle \overline{xyzyx}=10001x+1010y+100z=9999x+1012y+99z+(2x-2y+z)=11(909x+92y+9z)+(2x-2y+z)\). Vezessük be az \(\displaystyle R=2x-2y+z\) jelölést, ahol a változók számjegyek és \(\displaystyle x\) legalább 1. A 11-gyel való oszthatóság szükséges és elégséges feltétele, hogy \(\displaystyle R\) osztható legyen 11-gyel. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) változók értékét figyelembe véve \(\displaystyle R\) értéke legalább \(\displaystyle 2 \cdot 1 - 2 \cdot 9 + 0 = -16\) és legfeljebb \(\displaystyle 2 \cdot 9 -2 \cdot 0 + 9 = 27\), azaz \(\displaystyle -16\leq R\leq27\). Ebben az intervallumban a \(\displaystyle -11\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 22\) számok oszthatók 11-gyel. Vizsgáljuk meg az eseteket aszerint, hogy mennyi lehet a páros \(\displaystyle 2x-2y\) értéke. Ha \(\displaystyle -10\), vagy \(\displaystyle 12\), akkor nincs olyan \(\displaystyle z\), amelyet ezekhez adva nullát, vagy 22-t kaphatnánk, vagyis ezekben az esetekben \(\displaystyle R\) nem osztható 11-gyel. \(\displaystyle 2x-2y=-10\) esetén \(\displaystyle x-y=-5\), ami négy számpárt jelent: \(\displaystyle (1;6)\), \(\displaystyle (2;7)\), \(\displaystyle (3;8)\), \(\displaystyle (4;9)\); \(\displaystyle 2x-2y=12\) esetén \(\displaystyle x-y=6\), melyet szintén négy számpár elégít ki: \(\displaystyle (6;0)\), \(\displaystyle (7;1)\), \(\displaystyle (8;2)\), \(\displaystyle (9;3)\), hiszen a 11-gyel való oszthatóságnál az \(\displaystyle (x;y)\) párokhoz egyértelműen lehet \(\displaystyle z\)-t rendelni, hiszen \(\displaystyle z\) egyjegyű.

Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) összes lehetséges értéke 90 számpárt eredményez, ebből a fenti nyolc esetben nem kaphatunk 11-gyel osztható számot, a többi esetben igen, ezért 82 ötjegyű, 11-gyel osztható palindrom szám van.

Nézzük most a 121-gyel való oszthatóságot: \(\displaystyle 121=11^{2}\), ezért ahhoz, hogy a szám osztható legyen 121-gyel, a 11-gyel való osztás után a hányadosnak ismét oszthatónak kell lennie 11-gyel. Vezessük be az \(\displaystyle r=\dfrac{R}{11}\) jelölést. Az első oszthatóság feltétele az volt, hogy \(\displaystyle R\) értéke \(\displaystyle -11\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 11\) vagy \(\displaystyle 22\) legyen, így \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) értékeket veheti fel.

A második 11-gyel való oszthatóságnál tehát a \(\displaystyle 909x+92y+9z+r\) kifejezésnek kell oszthatónak lennie 11-gyel. Alakítsuk át a kifejezést: \(\displaystyle 909x+92y+9z+r=11(83x+8y+z )+r+(-4x+4y-2z )=11(83x+8y+z )+r-2R=11(83x+8y+z )+r-22r=11(83x+8y-z )-21r\).

Ez a kifejezés akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha \(\displaystyle r=0\), azaz \(\displaystyle 2x-2y+z=0 ; z=2y-2x=2(x-y )\). Mivel \(\displaystyle z\) egy páros számjegy, így csak az alábbi esetek fordulhatnak elő:
\(\displaystyle z=0\), ekkor \(\displaystyle x-y=0\), ez 9 eset;
\(\displaystyle z=2\), ekkor \(\displaystyle y-x=1\), ez 8 eset;
\(\displaystyle z=4\), ekkor \(\displaystyle y-x=2\), ez 7 eset;
\(\displaystyle z=6\), ekkor \(\displaystyle y-x=3\), ez 6 eset;
\(\displaystyle z=8\), ekkor \(\displaystyle y-x=4\), ez pedig 5 esetben teljesül.

Tehát összesen 35 estben 121-gyel is osztható számot kapunk. Így a 82 darab ötjegyű, 11-gyel osztható szám közül a 121-gyel nem oszthatók darabszáma \(\displaystyle 47\), tehát a keresett arány \(\displaystyle \dfrac{47}{82}\).

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bán Kincső Panni, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Hetyei Dániel, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Molnár Lili, Rózsa Zsombor.
4 pontot kapott:	Krüpl Boglárka, Kulcsár Anna Zita, Pánovics Máté.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai