 |
A C. 1848. feladat (2025. március) |
C. 1848. Az \(\displaystyle a_n\) számsorozatot a következőképpen definiáljuk: \(\displaystyle a_1=1\); \(\displaystyle a_2=2\), és minden \(\displaystyle n\) pozitív egész számra
\(\displaystyle a_{n+2}=a_n^2+a_{n+1}^2. \)
Mi az utolsó számjegye a sorozat \(\displaystyle 2025\). tagjának?
ausztrál versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A természetes számok tízes számrendszerbeli alakjának utolsó számjegye egyenlő a \(\displaystyle 10\)-zel való osztási maradékkal, ami a paritástól és az \(\displaystyle 5\)-tel való osztási maradéktól függ. Nézzük először a paritást. Egy egész szám négyzete ugyanolyan paritású, mint a szám, így az \(\displaystyle a_3\) páratlan, hiszen különböző paritású számok összege. Ebből következik, hogy az \(\displaystyle a_4\) is páratlan, \(\displaystyle a_5\) viszont páros, hiszen két páratlan szám összegeként kapjuk meg. Láthatjuk, hogy a páratlan-páros-páratlan hármas ciklikusan ismétlődik, azaz a sorozat minden \(\displaystyle 3\)-mal osztható sorszámú tagja páratlan, így a \(\displaystyle 2025.\) tag is. Most vizsgáljuk meg az \(\displaystyle 5\)-tel való osztási maradékokat. Mivel \(\displaystyle a_3=5,\) így osztható \(\displaystyle 5\)-tel, \(\displaystyle a_4=29,\) amelynek \(\displaystyle 4\) az \(\displaystyle 5\)-tel való osztási maradéka. Ebből következik, hogy \(\displaystyle a_5\) \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul \(\displaystyle 5\)-tel osztva, \(\displaystyle a_6\) pedig \(\displaystyle 2\)-t, így a maradékok négyesével ismétlődnek, vagyis a \(\displaystyle 2025.\) tag \(\displaystyle 5k+1\) alakú (ahol \(\displaystyle k\) egész szám). A fentiek alapján a sorozat \(\displaystyle 2025.\) tagja páratlan és \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul, ezért az utolsó számjegye \(\displaystyle 1\).
Megjegyzés. Mivel a paritás periódusa \(\displaystyle 3\), az ötös maradékoké pedig \(\displaystyle 4\), az utolsó számjegy \(\displaystyle 3 \cdot 4=12\)-esével ismétlődik.
Statisztika:
170 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 101 versenyző. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 17 dolgozat.
A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai