Problem C. 1850. (March 2025)
C. 1850. Prove that if positive numbers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), and \(\displaystyle c\) satisfy \(\displaystyle abc^6=\frac{b^2}{c^2}=16\), then \(\displaystyle a+4b>16\).
Proposed by: Mátyás Czett, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle abc^6=2^4\) és \(\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=2^4\), vegyük észre, hogy a kettőt összeszorozva egy nyolcadfokú kifejezést kapunk, ami \(\displaystyle 2^8\)-nal egyenlő:
\(\displaystyle ab^3c^4=2^8,\)
\(\displaystyle 2=\sqrt[8]{ab^3c^4}.\)
Ez egy mértani közép, felírhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle 2=\sqrt[8]{abbbcccc}\le\frac{a+3b+4c}8.\)
Mindkét oldalt 8-cal szorozva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 16\le a+3b+4c\).
Mivel \(\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=2^4\), tudjuk, hogy \(\displaystyle 4c=b\) (hiszen a, b és c pozitívak), így \(\displaystyle 16\le a+3b+b=a+4b\).
Egyenlőség akkor állhatna fenn, ha \(\displaystyle a=b=c\), de ekkor \(\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=1\ne 16\).
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025