Problem C. 1851. (March 2025)
C. 1851. The interior angle bisector at vertex \(\displaystyle C\) of triangle \(\displaystyle ABC\) intersects side \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle D\). Find the lengths of the sides of the triangle if \(\displaystyle AD=15\), \(\displaystyle DB=20\), and \(\displaystyle CD=f_{c}=12\sqrt{2}\).
Proposed by: László Németh, Fonyód
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát, amelyen a feltételnek megfelelően \(\displaystyle c_1=15, c_2=20\) és \(\displaystyle f_c=12\sqrt{2}\).
Felhasználjuk azt az ismert tételt, hogy a belső szögfelező négyzete a közrefogó oldalak szorzatának valamint azon két szakasz szorzatának a különbsége, amelyre a szögfelező a szemközti oldalt osztja (Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1256.).
Eszerint \(\displaystyle f_c^2=a\cdot b-c_1\cdot c_2\), tehát a megadott értékekkel \(\displaystyle 288=a\cdot b-300\), ahonnan
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle a\cdot b=588\) |
következik.
A belső szögfelezőtételből kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\frac{b}{a}=\frac{c_1}{c_2}}\), vagyis \(\displaystyle \displaystyle{\frac{b}{a}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}}\), ezért
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{b=\frac{3}{4}a}.\) |
A (2)-ben kapott eredményt (1)-be írva egyszerű számolás után kapjuk, hogy \(\displaystyle a^2=784\), ezért \(\displaystyle a=28\) és így (2) alapján \(\displaystyle b=21\).
A háromszög oldalai tehát
\(\displaystyle BC=a=28;\quad CA=b=21;\quad AB=c=35\)
egység hosszúságúak.
Statistics:
37 students sent a solution. 5 points: Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Barsi Kíra Jázmin, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Farkas Máté, Hetyei Dániel, Illés Hanna, Iván Máté Domonkos, Kiss Máté, Kókai Ákos, Kriston Hunor, Kulcsár Anna Zita, Lukács Ármin, Masa Barnabás, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Pánovics Máté, Pink István, Zhang Suan. 4 points: Bernáth Csenge, Éliás Kristóf , Harmati Lőrinc Kenese, Jakab Dávid, Medgyesi Júlia, Nagy Nándor, Páternoszter Tamás, Rózsa Zsombor. 1 point: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025