A C. 1853. feladat (2025. április)

C. 1853. Néhány kutató egy virágos homokgyepen zümmögő poszméhek ötvenfős csapatát figyeli. Izgatottan állapítják meg, hogy a poszméhek mindegyike pontosan négyféle virágról gyűjtött virágport, mielőtt továbbrepült volna. Sőt, még azt is feljegyezték, hogy mindegyik poszméh különböző négyest választott, de mind az \(\displaystyle 50\) poszméh meglátogatott egy buglyos fátyolvirágot. Bizonyítsuk be, hogy összesen legalább 9-féle virágról gyűjtöttek a poszméhek.

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle n\) azt a számot, ahány növényfaj virágáról gyűjtöttek (elsősorban virágport) a poszméhek. Mivel a buglyos fátyolvirágot mindegyikük meglátogatta, így a maradék \(\displaystyle n-1\) faj közül választhattak maguknak további hármat (ugyanis pontosan négy faj virágáról gyűjtöttek). Tudjuk, hogy ezen hármasok mind különbözőek, így adódik, hogy a poszméhek száma legfeljebb annyi lehet, ahányféleképpen az \(\displaystyle n-1\) fajból kiválaszthatunk különböző hármat. Tehát \(\displaystyle \binom{n-1}{3} \geq 50\), amelyből \(\displaystyle n \geq 9\) adódik.

Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	135 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	22 dolgozat.

A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai