 |
A C. 1856. feladat (2025. április) |
C. 1856. Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögben (az oldalakat és a megfelelő szögeket a szokásos módon jelölve)
\(\displaystyle a\sin\alpha+b\sin\beta+c\sin\gamma\ge\frac{a+b+c}{3}\left(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\right). \)
Mikor áll fenn egyenlőség?
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje a háromszög területét \(\displaystyle T\). Ekkor tudjuk, hogy
\(\displaystyle T=\frac{ab\sin\gamma}2=\frac{bc\sin\alpha}2=\frac{ca\sin\beta}2.\)
Ebből az egyenlőtlenségben szereplő szögfüggvényekre a következő összefüggések adódnak:
\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{2T}{bc};~ \sin\beta=\frac{2T}{ca};~\sin\gamma=\frac{2T}{ab}.\)
Ezt behelyettesítve az egyenlőtlenségbe azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle a \cdot \frac{2T}{bc} +b \cdot \frac{2T}{ca} +c \cdot \frac{2T}{ab} \geq \frac{a+b+c}{3}\left(\frac{2T}{bc}+\frac{2T}{ca}+\frac{2T}{ab}\right).\)
Szorozzuk meg minkét oldalt \(\displaystyle \frac{3abc}{2T}\)-vel! (Mivel a tört számlálójában és nevezőjében is pozitív szám áll, a tört értéke is pozitív, így ez a lépés nem változtatja meg az egyenlőtlenség irányát.)
\(\displaystyle 3a^2+3b^2+3c^2\ge(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca,\)
ezt egy oldalra rendezve az adódik, hogy
\(\displaystyle 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0,\)
\(\displaystyle (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0.\)
Ez három teljes négyzet összege, tehát valóban mindenképp nemnegatív. Mivel csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, az eredeti egyenlőtlenség is igaz, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a három teljes négyzet mind \(\displaystyle 0\), vagyis \(\displaystyle a=b=c\), tehát a háromszög szabályos.
Statisztika:
29 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bán Kincső Panni, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Iván Máté Domonkos, Jakab Dávid, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Móricz Zsombor, Nagy Krisztofer , Pink István, Rózsa Zsombor. 4 pontot kapott: Barna 201 Krisztina, Hetyei Dániel, Medgyesi Júlia, Molnár Lili, Pánovics Máté, Sárecz Bence, Zádori Gellért. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai