 |
A C. 1857. feladat (2025. április) |
C. 1857. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\) pozitív prímszámokból álló számhármast, amelyek megoldásai a \(\displaystyle p+q=r+1\); \(\displaystyle p\cdot r=q^2+6\) egyenletrendszernek.
német versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás.
\(\displaystyle q=r-p+1,\)
\(\displaystyle q^2=pr-6.\)
Foglaljuk táblázatba, hogy ezek alapján \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) ötös osztási maradékából mi adódik \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle q^2\) osztási maradékára!
| \(\displaystyle p ~ \backslash ~ r\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | \(\displaystyle (1; 4)\) | \(\displaystyle (2; 4)\) | \(\displaystyle (3; 4)\) | \(\displaystyle (4; 4)\) | \(\displaystyle (0; 4)\) |
| 1 | \(\displaystyle (0; 4)\) | \(\displaystyle (1; 0)\) | \(\displaystyle (2; 1)\) | \(\displaystyle (3; 2)\) | \(\displaystyle (4; 3)\) |
| 2 | \(\displaystyle (4; 4)\) | \(\displaystyle (0; 1)\) | \(\displaystyle (1; 3)\) | \(\displaystyle (2; 0)\) | \(\displaystyle (3; 2)\) |
| 3 | \(\displaystyle (3; 4)\) | \(\displaystyle (4; 2)\) | \(\displaystyle (0; 0)\) | \(\displaystyle (1; 3)\) | \(\displaystyle (2; 1)\) |
| 4 | \(\displaystyle (2; 4)\) | \(\displaystyle (3; 3)\) | \(\displaystyle (4; 2)\) | \(\displaystyle (0; 1)\) | \(\displaystyle (1; 0)\) |
(A táblázat soraiban \(\displaystyle r\), oszlopaiban \(\displaystyle p\) ötös osztási maradékai szerint tüntettük fel \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle q^2\) ötös osztási maradékát, a rendezett párok első tagja \(\displaystyle q\), a második pedig \(\displaystyle q^2\) maradéka.)
Ezekből csak azok az esetek valósulhatnak meg, melyekben \(\displaystyle q^2\) ötös maradéka ténylegesen \(\displaystyle q\) ötös maradékának négyzete, tehát csak a \(\displaystyle (2; 4)\), \(\displaystyle (3; 4)\) és \(\displaystyle (0; 0)\). Az első kettő csak a táblázat első sorában, illetve az első oszlopában szerepel, ekkor \(\displaystyle 5|p\) vagy \(\displaystyle 5|r\); \(\displaystyle (0;0)\) esetén pedig \(\displaystyle 5|q\). Mivel \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle r\) prímek, és valamelyiket osztja 5, ezért valamelyik pont az 5 kell, hogy legyen.
Ha \(\displaystyle p=5\), \(\displaystyle r = q+4\) és \(\displaystyle 5r=q^2+6\), amiből \(\displaystyle q^2-5q-14=0\) adódik, ennek egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle q=7\), ekkor \(\displaystyle r=11\). Ehhez hasonlóan ha \(\displaystyle q=5\), akkor \(\displaystyle p^2+4p-31\) adódik, aminek nincs racionális megoldása. Végül ha \(\displaystyle r=5\), \(\displaystyle p+q=6\) és \(\displaystyle 5p=q^2+6\) egyenletrendszert kell kielégíteni, ennek első egyenlete prímekre csak a \(\displaystyle p=q=3\) esetben teljesülhet, ez megoldása a második egyenletnek is.
Tehát a két megoldás: \(\displaystyle p=5\), \(\displaystyle q=7\) és \(\displaystyle r=11\), illetve \(\displaystyle p=q=3\) és \(\displaystyle r=5\).
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Albert Luca Liliána, Barna 201 Krisztina, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Hetyei Dániel, Iván Máté Domonkos, Molnár Lili, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor. 4 pontot kapott: Kókai Ákos, Sárecz Bence. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai