A C. 1858. feladat (2025. május)

C. 1858. Tomi megszámozott \(\displaystyle 30\) kártyát \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 30\)-ig, majd elővett \(\displaystyle 10\) borítékot, és az összes kártyát beletette azokba. Minden borítékba legalább \(\displaystyle 2\), de legfeljebb \(\displaystyle 4\) kártya került. Ezután minden borítékra ráírta a benne lévő kártyákon szereplő számok összegét, és az összegek szerint csökkenő sorrendbe rendezte azokat. Mi lehet a legkisebb, illetve legnagyobb szám a sorrendben harmadik borítékon?

Javasolta: Czett Mátyás (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első 3 borítékon mind legalább akkora szám áll, mint a harmadikon. Ezeknek az összege legfeljebb a 12 legnagyobb számkártya összege, ami \(\displaystyle 30+29+\dots+19=3\cdot98\). Tehát a 3. borítékon lévő szám legfeljebb 98 lehet.

A \(\displaystyle 98\) lehetséges is, ha a borítékokban lévő számkártyák például

\(\displaystyle (30, 29, 20, 19), (28, 27, 22, 21), (26, 25, 24, 23), (18, 17, 16), (15, 14, 13), (12, 11, 10), (9, 8, 7), (6, 5), (4, 3), (2, 1).\)

Az utolsó 8 borítékon mind legfeljebb akkora szám áll, mint a harmadikon. Ezeknek az összege legalább annyi, mint a 22 legkisebb számkártya értékének összege, hiszen legfeljebb 8 kártya kerülhet a maradék két borítékba. Ez \(\displaystyle 22+21+\dots+1=253\), tehát a 3. számkártyán álló szám legalább \(\displaystyle \left\lceil\frac{253}8\right\rceil=32\).

A \(\displaystyle 32\) lehetséges is, ha a borítékokban lévő számkártyák például

\(\displaystyle (30, 29, 28, 27), (26, 25, 24, 23), (22, 9, 1), (21, 8, 3), (20, 7, 5), (19, 11, 2), (18, 10, 4), (13, 12, 6), (17, 14), (16, 15).\)

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai