A C. 1872. feladat (2025. október)

C. 1872. Peti felírta egy táblára az egész számokat egytől ötvenig. Egy lépésben kiválaszt két számot a táblán (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)), letörli őket, és helyettük felírja a következő képlettel megadott számot:

\(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30. \)

Ezt a lépést addig ismételgeti, amíg csak egy szám marad a táblán. Milyen szám lehet ez?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A folyamat végén a hatos szám marad a táblán.

Ennek indoklásaképp megmutatjuk, hogy ez a szám nem tud eltűnni: ha letörlünk két számot, melyek közül az egyik a 6, akkor helyettük ismét a 6-ot fogjuk felírni.

Első eset: \(\displaystyle a=6\), ekkor \(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30=36b-216-42b+252-30=6\).

Második eset: \(\displaystyle b=6\), ekkor \(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30=6a^2-6a^2-42a+42a+36-30=6\).

Mivel kezdetben 50 szám volt a táblán, és minden lépésben eggyel csökken a táblán lévő számok darabszáma (hiszen kettőt törlünk le, és egyet írunk csak fel), 49 lépés után tényleg pontosan egy szám lesz a táblán, és ennek a fentiek miatt a 6-nak kell lennie.

Hogyan lehet erre rájönni?

\(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30=(a^2b-6a^2)-(7ab-42a)+6b-30=\)

\(\displaystyle =a^2(b-6)-7a(b-6)+6(b-6)+6=(a^2-7a+6)(b-6)+6=(a-1)(a-6)(b-6)+6\text{,}\)

ahol \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle a=6\) vagy \(\displaystyle b=6\) helyettesítéssel a szorzat értéke \(\displaystyle 0\), így a kifejezés értéke \(\displaystyle 6\) lesz.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Bán Kincső Panni, Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Fülöp Magdaléna, Gazdag Lóránd, Halmosi Dávid, Hetyei Dániel, Ivák László, Kámán-Gausz Péter, Károly Kamilla , Király Zsuzsanna , Kókai Ákos, Kun Petra, Lupkovics Lázár, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Móricz Zsombor, Németh Ábel, Ördög Dominik, Pap Lola, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya, Schneider Péter, Serfőző Dávid, Szathmáry Zalán, Szedmák Szabrina, Szekeres Anina, Válek Péter, Varga 137 Levente, Veress Bence, Viczián Adél, Yan Zhebeier.
4 pontot kapott:	Abonyi Donát Tibor, Hirmann Dorottya, Kovács Dorka Sára, Mátó-Brezán Luca, Novák Zétény, Pivárcsik Márk, Szabados Zoltán .
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai