A C. 942. feladat (2008. április)

C. 942. Egy d differenciájú számtani sorozatban a₁=1 és a_n=81. Egy q hányadosú mértani sorozatban b₁=1 és b_n=81. Tudjuk még, hogy $\frac qd=0{,}15$ . Adjuk meg az összes ilyen sorozatot.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képlet alapján (n-1)d=80, ahonnan $d=\frac{80}{n-1}$ . Felhasználva, hogy $\frac qd=0,15=\frac{3}{20}$ , ebből $q=\frac{3}{20}\cdot\frac{80}{n-1}=\frac{12}{n-1}$ .

Ha d irracionális szám lenne, akkor (n-1)d is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát d racionális, így q is az: $q=\frac ab$ , ahol (a,b)=1, vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont $81=\left(\frac ab\right)^{n-1}$ számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha b=1, tehát q egész. Mivel $q=\frac{12}{n-1}$ és n legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor q értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban q^n-1 csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és a₅ valóban 81.

Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig n=5 esetén, ekkor d=20 és q=3.

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 91 versenyző.

4 pontot kapott: 42 versenyző.

3 pontot kapott: 13 versenyző.

2 pontot kapott: 10 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai

163 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?