A C. 947. feladat (2008. május)

C. 947. Egy egyenes vasúti síntől 160 m-re fülel egy nyuszi az A pontban. Az A pont merőleges vetülete a sínekre T. Egy vonat közeledik a T pont felé 30 m/s sebességgel, a vonat elejének a távolsága a T ponttól kezdetben 300 m. A nyúl 15 m/s sebességgel tud futni. Át tud-e valamilyen irányban futni a nyuszi a vonat előtt a síneken?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás:

Célozzon meg a nyuszi egy olyan N pontot a síneken, melyre teljesül, hogy T elválasztja N-et és V-t (V-vel jelöljük a vonat elejét). Legyen x=NT. A derékszögű NTA háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: TA²+x²=NA², vagyis $NA=\sqrt{160^2+x^2}$ .

A vonat 300+x méter utat tesz meg 30 m/s sebességgel, $t_v=\frac{300+x}{30}$ másodperc alatt.

A nyuszi NA utat tesz meg 15 m/s sebességgel, $\frac{\sqrt{160^2+x^2}}{15}$ másodperc alatt.

Ahhoz, hogy a nyuszi a vonatnál hamarabb érje el az N pontot, annak kell teljesülnie kell, hogy:

$\frac{300+x}{30}>\frac{\sqrt{160^2+x^2}}{15}.$

30-cal való beszorzás után négyzetre emelve:

90000+x²+600x>102400+4x²,

0>3x²-600x+12400.

$x_{1,2}=100\pm\frac{\sqrt{211200}}{6},$

x₁ $\approx$ 100+76,59=176,59; x₂ $\approx$ 100-76,59=23,41.

Az egyenlőtlenség 23,41<x<176,59 esetén teljesül.

Tehát, ha a nyuszi pl. a T-től 30 méterre levő pontot célozza meg, akkor még a vonat előtt átér a síneken.

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 93 versenyző.

4 pontot kapott: 7 versenyző.

3 pontot kapott: 19 versenyző.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 9 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

137 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	93 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?