Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 975. feladat (2009. február)

C. 975. Az ABC háromszögben a C csúcsból húzott magasság az AB oldalt T-ben metszi. Az AC és a BC oldalakra kifelé olyan derékszögű CAD és CBE háromszögeket rajzolunk, amelyekben A-nál, illetve B-nél van a derékszög. Tudjuk továbbá, hogy AD=TB és BE=TA. Igazoljuk, hogy CDE\sphericalangle =CED\sphericalangle.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az ATC és a CAD háromszögre:

(1)b2=y2+m2,
(2)CD2=x2+b2.

Írjuk be (2)-be az (1)-ben b2-re kapott értéket:

(3)CD2=x2+y2+m2.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a BTC és a CBE háromszögre:

(4)a2=x2+m2,
(5)CE2=y2+a2.

Írjuk be (5)-be a (4)-ben a2-re kapott értéket:

(6)CE2=y2+x2+m2.

Mivel (3) és (6) jobb oldala megegyezik, ezért bal oldaluk is egyenlő: CD2=CE2. Mivel szakaszok hossza pozitív, ezért ebből CD=CE következik, tehát a CDE\triangle egyenlő szárú. Így pedig alapon fekvő szögei egyenlők: CDE\angle=CED\angle, amit bizonyítani kellett.

(Ha D, C és E egy egyenesre esnek, akkor a háromszög elfajuló, és CDE\angle=CED\angle=0o.)

Statisztika:

227 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:213 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai