Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 979. feladat (2009. február)

C. 979. Piros alapon fehér pöttyös labdánkon harminc (gömbsüveg alakú) pötty található. A labda főkörének kerülete 54 cm, a pöttyök kerülete 11 cm. A labda felszínének hány százaléka pötty?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Jelölje a labdának megfelelő gömb sugarát r, a pöttynek megfelelő gömbsüveg alapkörének sugarát \varrho, magasságát pedig m.

r és \varrho közvetlenül számolható:

r=\frac{54}{2\pi}\approx8,59;\qquad\qquad\varrho=\frac{11}{2\pi}\approx1,75.

Messük el a gömböt egy, a középpontján és egy gömbsüveg alapkörének középpontján átmenő síkkal.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ekkor OB=OC=r, KB=\varrho és KC=m. Ebből OK=r-m. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az OKB háromszögre:

r2=\varrho2+(r-m)2,

amiből

r-m=\sqrt{r^2-\varrho^2}\approx8,41,

és így m=r-8,41=0,18.

Egy pötty felszíne:

Ap=2\pirm\approx9,72,

a labda felszíne:

Al=4\pir2\approx927,25.

A keresett arány: \frac{30\cdot9,72}{927,25}\approx31,45\%.


Statisztika:

255 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:153 versenyző.
4 pontot kapott:53 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:23 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai