A G. 887. feladat (2025. április)

G. 887. Egy acélgolyó átmérője \(\displaystyle 0~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-on \(\displaystyle 4{,}160~\mathrm{cm}\), egy alumíniumlemezben lévő, lézervágási technikával készült kör alakú lyuk átmérője pedig ugyancsak \(\displaystyle 0~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-on \(\displaystyle 4{,}150~\mathrm{cm}\).

A lineáris hőtágulási együtthatók: \(\displaystyle \alpha_{\textrm{Al}}=2{,}4\cdot 10^{-5}~\tfrac{1}{\mathrm{K}}\) és \(\displaystyle \alpha_{\textrm{acél}}=1{,}2\cdot 10^{-5}~\tfrac{1}{\mathrm{K}}\). (A hőtágulási együtthatók hőmérsékletfüggésétől tekintsünk el.)

a) Mekkora az acélgolyó hőmérséklete, amikor éppen átfér a \(\displaystyle 0~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-os alumíniumlemezen lévő lyukon?

b) Mekkora az alumíniumlemez hőmérséklete, amikor a kivágáson éppen átfér a \(\displaystyle 0~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-os acélgolyó?

c) Mekkora az a közös hőmérséklet, aminél a lyuk és a golyó átmérője egyforma?

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük fel az adatokat, illetve a kiszámolandó mennyiségeket: \(\displaystyle d_{0\,\textrm{acél}}=4{,}160\,\mathrm{cm}\); \(\displaystyle d_{0\,\textrm{Al}}=4{,}150\,\mathrm{cm}\); \(\displaystyle \alpha_\textrm{acél}=1{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\tfrac{1}{K}}\); \(\displaystyle \alpha_{\textrm{Al}}=2{,}4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\tfrac{1}{K}}\); \(\displaystyle T_\textrm{acél}=?\) \(\displaystyle T_\textrm{Al}=?\) \(\displaystyle T_\textrm{közös}=?\)

a) A lineáris hőtágulás egyenlete:

\(\displaystyle \Delta\ell=\alpha\ell_0\Delta T.\)

Az acélgolyó átmérője \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\)-rel nagyobb, mint a \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os alumíniumlemezen lévő lyuk átmérője, ezért a golyót hűteni kell ahhoz, hogy átférjen a lyukon:

\(\displaystyle \Delta T_\textrm{acél}=\frac{\Delta\ell}{\alpha_\textrm{acél}d_{0\,\textrm{acél}}}=\frac{-0{,}010\,\mathrm{cm}}{1{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{1}{K}}\cdot 4{,}160\,\mathrm{cm}}=-200{,}3\,^\circ\mathrm{C}\approx-200\,^\circ\mathrm{C}.\)

Az acélgolyót tehát \(\displaystyle T_\textrm{acél}=-200\,^\circ\mathrm{C}\)-ra (ez lényegében a folyékony nitrogén hőmérséklete) kell lehűtenünk ahhoz, hogy átférjen a lyukon.

Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a megoldásban felváltva használtuk a K (kelvin) és a \(\displaystyle ^\circ\mathrm{C}\) egységeket olyan mennyiségek esetén, ahol hőmérséklet-különbségekről van szó. Ezzel nem vétünk hibát, ugyanis a hőmérséklet-különbségek megegyeznek a kétféle skálán, mert azok között csak egy 273 fokos eltolás adja az eltérést.

b) A lyuk ugyanúgy tágul, mintha anyaggal lenne kitöltve, tehát a lyuk hőtágulásánál is ugyanúgy kell eljárnunk, mint az acélgolyó esetén:

\(\displaystyle \Delta T_\textrm{Al}=\frac{\Delta\ell}{\alpha_\textrm{Al}\cdot d_{0\,\textrm{Al}}}=\frac{0{,}010\,\mathrm{cm}}{2{,}4 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{1}{K}}\cdot 4{,}150\,\mathrm{cm}}=100{,}4\,^\circ\mathrm{C}\approx100\,^\circ\mathrm{C}.\)

Az alumíniumlemezt tehát \(\displaystyle T_\textrm{Al}=100\,^\circ\mathrm{C}\)-ra kell felmelegítenünk ahhoz, hogy az acélgolyó átférjen rajta.

Megjegyzés. Nem véletlen, hogy az acélgolyó esetén abszolút értékre kétszer akkora hőmérséklet-változás jött ki, mert az acélnak éppen feleakkora a hőtágulási együtthatója, mint az alumíniumnak, tehát ugyanakkora átmérő változáshoz kétszeres hőmérséklet-változás kell. Nagyon pontosan számolva nem egészen kell kétszer akkora, mert a kiindulási átmérők egy kissé eltérnek egymástól.

c) Kiinduláskor az alumíniumban a lyuk átmérője kisebb, mint az acélban, azonban a hőtágulási együtthatója nagyobb, tehát melegítve valamikor utoléri az acélt. Használjuk ki, hogy az alumínium kétszer akkorát tágul, mint az acél, és kezdetben \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\) a köztük lévő különbség. Ha tehát az acél \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\)-t tágul, akkor az alumínium \(\displaystyle 0{,}020\,\mathrm{cm}\)-t, vagyis éppen egyforma lesz az átmérő. Az acél \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\)-es hőtágulásához \(\displaystyle 200\,^\circ\mathrm{C}\)-os melegítés kell, ugyanígy az alumínium \(\displaystyle 0{,}020\,\mathrm{cm}\)-es tágulásához is, tehát a helyes válasz az, hogy a közös hőmérséklet: \(\displaystyle T_\textrm{közös}=200\,^\circ\mathrm{C}\).

Megjegyzés. Azok kedvéért, akik nem szeretik az ilyen logikai megfontolásokat, nézzük meg, hogyan lehet egyenletekkel megoldani a feladat c) részét:

\(\displaystyle \Delta\ell_\textrm{Al}=\Delta\ell_\textrm{acél}+0{,}010\,\mathrm{cm},\)

vagyis

\(\displaystyle \alpha_\textrm{Al}d_{0\,\textrm{Al}}\Delta T=\alpha_\textrm{acél}d_{0\,\textrm{acél}}\Delta T+0{,}010\,\mathrm{cm},\)

amiből a hőmérséklet-változás így fejezhető ki:

\(\displaystyle \Delta T=\frac{0{,}010\,\mathrm{cm}}{\alpha_\textrm{Al}d_{0\,\textrm{Al}}-\alpha_\textrm{acél}d_{0\,\textrm{acél}}}=201{,}3\,^\circ\mathrm{C},\)

vagyis a fenti logikai megfontolásunk 1%-nál pontosabb eredményt adott.

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Bora Ádám, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, Kakas Noel, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Majer Veronika, Medgyesi András, Molnár Sámuel , Németh Ábel, Patócs 420 Péter, Rácz Koppány Bendeguz, Sipeki Andor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szighardt Anna, Tóth Domonkos, Vízhányó Janka.
3 pontot kapott:	Macskássy Márk, Szilaj Petra.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. áprilisi fizika feladatai