A G. 891. feladat (2025. május)

G. 891. Egy dominó alakú hasábot készítünk valamilyen gyengén vezető anyagból. A méretek: \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{cm}\times 3~\mathrm{cm}\times 6~\mathrm{cm}\). Megmérjük a dominó elektromos ellenállását úgy, hogy az egymással szemben lévő oldalai között folyjon az áram. A csatlakozásokat úgy alakítjuk ki, hogy a dominókban az áramsűrűség homogén legyen. A feszültségeket úgy választjuk meg, hogy az áramsűrűség nagysága mindhárom esetben megegyezzen.

a) Hogy aránylik egymáshoz a három mért ellenállás?

b) Hogy aránylik egymáshoz az alkalmazott három feszültség?

c) Hogy aránylik egymáshoz a három esetben a másodpercenként felszabaduló Joule-hő?

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás. a) Az ellenállást a méretek és a fajlagos ellenállás ismeretében számíthatjuk ki: \(\displaystyle R=\varrho\tfrac{\ell}{A}\). Mivel a fajlagos ellenállás mindhárom esetben ugyanakkora, így csak az számít, hogy melyik lapra merőlegesen folyik az áram. Az ellenállások aránya rendre a legnagyobb, közepes, illetve legkisebb lapra merőleges áramirány esetén:

\(\displaystyle \frac{0{,}5}{3\cdot 6}:\frac{3}{0{,}5\cdot 6}:\frac{6}{0{,}5\cdot 3}=\frac{1}{36}:1:4=1:36:144.\)

b) Legyen az áramsűrűség egységnyi, ami mindenhol, mindig ugyanakkora. Az áramerősség tehát az egyes lapok területével arányos, vagyis az előző sorrend szerint az arányok:

\(\displaystyle (3\cdot 6):(0{,}5\cdot 6):(0{,}5\cdot 3)=18:3:1{,}5=12:2:1.\)

Az alkalmazott feszültségek arányát a megfelelő ellenállások és áramerősségek szorzatainak arányaként kaphatjuk meg:

\(\displaystyle \frac{18}{36}:(1\cdot 3):(4\cdot 1{,}5)=0{,}5:3:6=1:6:12.\)

c) Ha mindhárom esetben azonos az áramsűrűség, akkor a hőteljesítménynek (a másodpercenként felszabaduló hőnek) minden esetben ugyanakkorának kell lennie.

Az ellenállást így írhatjuk fel: \(\displaystyle R=\varrho\tfrac{\ell}{A}\); az áramerősséget így: \(\displaystyle I=jA\), ahol \(\displaystyle j\) az áramsűrűség, a hőteljesítményt pedig így:

\(\displaystyle P=RI^2=\varrho\frac{\ell}{A}(jA)^2=\varrho j^2\ell A=\varrho j^2V,\)

ahol \(\displaystyle V\) az áramvezető-anyag térfogata. Látható tehát, hogy az egységnyi térfogatban másodpercenként felszabaduló Joule-hő így adható meg: \(\displaystyle \varrho j^2\).

Nyers erővel is ugyanerre az eredményre jutunk, ha összeszorozzuk a megfelelő ellenállásokat az áramerősség-négyzetekkel, vagy a feszültség-négyzeteket elosztjuk az ellenállásokkal, vagy a feszültségeket az áramerősségekkel szorozzuk, vagyis kiszámítjuk az egyes hőteljesítményeket:

\(\displaystyle \left(\frac{1}{36}\cdot 18^2\right):\left(1\cdot 3^2\right):\left(4\cdot 1{,}5^2\right)=\frac{0{,}5^2}{\frac{1}{36}}:\frac{3^2}{1}:\frac{6^2}{4}=(18\cdot 0{,}5):(3\cdot 3):(1{,}5\cdot 6)=9:9:9=1:1:1.\)

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Máté, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, Kossár Benedek Balázs, Lakatos Levente, Majer Veronika, Medgyesi András, Molnár Sámuel , Rácz Koppány Bendeguz, Sipeki Andor, Szighardt Anna, Tóth Domonkos, Vízhányó Janka.
3 pontot kapott:	Németh Ábel, Szabó András.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2025. májusi fizika feladatai