Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 454. feladat (2015. február)

K. 454. A következő műveletekben szereplő számok számjegyeit nagyon sok helyen betűkkel helyettesítettük. A különböző betűk különböző, az azonos betűk azonos számjegyet jelentenek. Egyik betű sem jelenti az 1-et.

\(\displaystyle 1 \cdot \mathrm{G} + 1 = \mathrm{H}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{A} \cdot \mathrm{G} + 2 = \mathrm{HG}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{AB} \cdot \mathrm{G} + 3 = \mathrm{HGF}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{G} + 4 = \mathrm{HGFE}, \)

\(\displaystyle 1\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{G} + 5 = \mathrm{HGFED}.\)

Adjuk meg a betűk értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az első sor alapján \(\displaystyle \mathrm{H} = \mathrm{G}+1\). Ha ezt behelyettesítjük a második sorba, akkor azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 10 \cdot \mathrm{G}+\mathrm{A}\cdot \mathrm{G}+2=10\cdot \mathrm{G}+10+\mathrm{G}\), vagyis \(\displaystyle \mathrm{A}\cdot \mathrm{G}=8+\mathrm{G}\). Ez csak akkor lehetséges, hogyha \(\displaystyle \mathrm{G}\) osztója a 8-nak, vagyis \(\displaystyle \mathrm{G} = 2, 4, 8\) (mert \(\displaystyle 1\) nem lehet). Vizsgáljuk meg sorban a három esetet.

I. eset: \(\displaystyle \mathrm{G}=2\). Ekkor \(\displaystyle \mathrm{H} = 3\) és \(\displaystyle \mathrm{A} = 5\). A harmadik sorba helyettesítve: \(\displaystyle 15\mathrm{B}\cdot 2 + 3 = 32\mathrm{F}\). A bal oldali kifejezés csak akkor érhetné el a \(\displaystyle 320\)-at, ha \(\displaystyle \mathrm{B}=9\) lenne, viszont ekkor \(\displaystyle \mathrm{F}=1\) lenne, ami nem megengedett. Tehát \(\displaystyle \mathrm{G=2}\) esetén nincs megoldás.

II. eset: \(\displaystyle \mathrm{G}=4\). Ekkor \(\displaystyle \mathrm{H} = 5\) és \(\displaystyle \mathrm{A} = 3\). A harmadik sor: \(\displaystyle 13\mathrm{B}\cdot 4 + 3 = 54\mathrm{F}\). Rendezve: \(\displaystyle 4\cdot \mathrm{B}=17+\mathrm{F}\), tehát \(\displaystyle \mathrm{F}\) értéke páratlan. Csak a \(\displaystyle 7\) vagy a \(\displaystyle 9\) jöhet szóba (a többi foglalt vagy tiltott). \(\displaystyle \mathrm{F}=7\) esetén kapunk \(\displaystyle \mathrm{B}\)-re egész értéket: \(\displaystyle \mathrm{B}=6\). A negyedik sorba helyettesítve: \(\displaystyle 136\mathrm{C}\cdot 4 + 4 = 547\mathrm{E}\). Ezt kifejtve: \(\displaystyle 5440+4\cdot \mathrm{C}+4=5470+\mathrm{E}\), rendezve: \(\displaystyle 4\cdot C=26+\mathrm{E}\). Ez már csak \(\displaystyle \mathrm{E}=2\) esetén teljesülhetne (mert \(\displaystyle \mathrm{E}=6\) már foglalt), de ekkor \(\displaystyle \mathrm{C}=7\) lenne, ami szintén foglalt. Így ebből az esetből sem kaptunk megoldást.

III. eset: \(\displaystyle \mathrm{G}=8\). Ekkor \(\displaystyle \mathrm{H} = 9\) és \(\displaystyle \mathrm{A} = 2\). A harmadik sorból: \(\displaystyle 12\mathrm{B} \cdot 8 + 3 = 98\mathrm{F}\). Kifejtve: \(\displaystyle 960+8\cdot \mathrm{B}+3=980+\mathrm{F}\), azaz \(\displaystyle 8\cdot \mathrm{B}=17+\mathrm{F}\). Az egyetlen szóba jöhető érték \(\displaystyle 8\cdot \mathrm{B}\)-re a \(\displaystyle 24\), így \(\displaystyle \mathrm{B}=3\) és \(\displaystyle \mathrm{F}=7\). A negyedik sorból \(\displaystyle 123\mathrm{C}\cdot 8 + 4 = 987\mathrm{E}\), amit kifejtve \(\displaystyle 9840+8\cdot \mathrm{C}+4=9870+\mathrm{E}\), ezt rendezve \(\displaystyle 8\cdot \mathrm{C}=26+\mathrm{E}\). \(\displaystyle 8\cdot \mathrm{C}\) egyetlen lehetséges értéke \(\displaystyle 32\), tehát \(\displaystyle \mathrm{C}=4\) és \(\displaystyle \mathrm{E}=6\). \(\displaystyle \mathrm{D}\) értékére így csak az \(\displaystyle 5\) maradt, és ha behelyettesítünk, akkor ez valóban helyes.

A megoldás:

\(\displaystyle 1 \cdot \mathrm{8} + 1 = \mathrm{9}, \)

\(\displaystyle 12 \cdot \mathrm{8} + 2 = \mathrm{98}, \)

\(\displaystyle 123 \cdot \mathrm{8} + 3 = \mathrm{987}, \)

\(\displaystyle 1234 \cdot \mathrm{8} + 4 = \mathrm{9876}, \)

\(\displaystyle 12345 \cdot \mathrm{8} + 5 = \mathrm{98765}.\)


Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Agócs Katinka, Braun Dániel, Csuha Boglárka, Dömötör Emőke, Encz Koppány, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, Harsányi Benedek, Hegedűs 330 Marcell, János Zsuzsa Anna, Járomi Bence, Korpás Isabel, Kozma Dávid Márk, Márton Anna, Mihályházi Péter, Nagy Marcell, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Pintér 345 Balázs, Rátkai Petra, Simon411 Máté, Sinkó Zsófia, Sipos Fanni Emma, Sisák László Sándor, Slenker Balázs, Szarka Álmos, Szilágyi Botond, Tamási Kristóf Áron, Tószegi Fanni, Valkó Bence, Varga 274 Tamás.
5 pontot kapott:Mészáros Melinda, Sántha 001 Balázs.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai