Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 455. feladat (2015. február)

K. 455. Ha a 2015-öt felírjuk a 2-es számrendszerben, akkor palindrom számot kapunk: 11111011111. Hány olyan XXI. századi évszám van, amelynek 2-es számrendszerbeli alakja szintén palindrom?

Kiss Sándor (Nyíregyháza) ötlete alapján

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A legkisebb XXI. századi évszám a \(\displaystyle 2000\), a legnagyobb pedig a \(\displaystyle 2099\). Mivel \(\displaystyle 2^{10}=1024\), \(\displaystyle 2^{11}=2048\) és \(\displaystyle 2^{12}=4096\), így az előbbi szám \(\displaystyle 2\)-es számrendszerbeli alakja 11-jegyű, az utóbbié pedig 12-jegyű, tehát egy megfelelő évszám 11- vagy 12-jegyű.

A legnagyobb 11-jegyű szám a 2-es számrendszerben a \(\displaystyle 2^{12}-1=2047\), ez csupa 1-esből áll, tehát megfelelő.

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Egy 11-jegyű szám pontosan akkor palindrom, ha a 11111111111 számban a 32-es helyiértékre szimmetrikusan bizonyos 1-eseket 0-ra cserélünk. Mivel \(\displaystyle 2047-(64+16)<2000\), így az egyetlen lehetőség, ha csak a 32-es helyiértéken lévő 1-est cseréljük le 0-ra. A kapott szám a 11111011111, vagyis a példában is szereplő 2015.

Ha a szám 12-jegyű, akkor az 111111111111 számot kell hasonlóan megvizsgálni.

2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Mivel ekkor van benne 2048, így legfeljebb \(\displaystyle 2099-2048=51\) értékes hely lehet még. Tehát az 1024, 512, 256, 128 és 64 helyen, és így ezekre szimmetrikusan csak 0 állhat:

2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Vagyis az egyetlen 12-jegyű szimmetrikus szám az 100000000001, azaz a 2049.

Tehát a 2015-ön kívül még két megfelelő évszám van a XXI. században.


Statisztika:

60 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Agócs Katinka, Benda Orsolya, Csiszer Bence, Csuha Boglárka, Dévény Csaba, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, János Zsuzsa Anna, Korpás Isabel, Márton Anna, Mihályházi Péter, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Perényi Gellért, Rátkai Petra, Rimai 217 Dániel, Simon411 Máté, Sinkó Zsófia, Sipos Fanni Emma, Sisák László Sándor, Slenker Balázs, Szakali Benedek, Szarka Álmos, Szilágyi Botond, Tamási Kristóf Áron, Tószegi Fanni, Valkó Bence, Varga 274 Tamás.
5 pontot kapott:Kovács 124 Marcell, Kovács András, Kozma Dávid Márk, Pál 965 Zsigmond, Szalay Gergő.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai