Problem K. 841. (January 2025)

K. 841. We celebrate the \(\displaystyle 125^{\text{th}}\) anniversary of writer István Fekete's birth on 2025.01.25 (YYYY.MM.DD). Number 20250125 is not divisible by 11, and gives a remainder of 2 when divided by 3. How many numbers can be obtained by rearranging the digits of this number that are divisible by 11 and give a remainder of 2 when divided by 3 just as well?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 11-gyel oszthatóság feltétele, hogy a páratlan sorszámú helyiértéken álló számjegyek és a páros sorszámú helyiértéken álló számjegyek összegének különbsége 11-gyel osztható legyen.

A 20250125 számjegyeinek összege 17, így itt a két számjegycsoport összegének különbsége 0 nem lehet, de 11 igen (11-nél nagyobb különbséghez legalább \(\displaystyle 23+1=24\) számjegyösszeg lenne szükséges, mert nincs 4 db 0.) A 11 \(\displaystyle 14-3\) alakban áll elő, tehát a két számjegycsoport 5, 5, 2, 2 és 2, 1, 0, 0. Ha az 5, 5, 2, 2 csoport valamelyik tagjával kezdődik a szám, akkor ezek 3-3-féleképpen rendezhetők sorba, míg a másik csoport tagjai az előzőekben látottak szerint 12-féleképpen, mert 0-val is indulhat. Tehát ez 72 számot jelent.

Ha a 2, 1, 0, 0 számok 2-es vagy 1-es számjegyével kezdődik a szám, akkor ezek 3-3-féleképpen rendezhetők sorba, míg az 5, 5, 2, 2 csoport tagjai 6-féleképpen. Ez újabb 36 db számot eredményez, így összesen 108 megfelelő számot találunk.

Statistics:

85 students sent a solution.
5 points:	Balla Botond, Chen Zhibo, Csehi Panna, Felföldi Zsófia, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Huang Han, Kudomrák Lili Anna , Laczó Zoltán, Lovas Márk, Martin-Hajdu Péter, Máté Zsófia, Mosonyi Mátyás, Nagy Roxána, Péter Tamás, Rácz Koppány Bendeguz, Robb Horkay Jázmin, Szabó Anita, Szighardt Anna, Zsilák Márk Péter.
4 points:	Bloemsma Péter Sándor, Csík Zoltán Richárd, Havasi Dominik, Havasi Huba László, Hollósi Dominik, Izsa Ferenc Gergő, Kun Milán, Leitner-Takács Bende, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Medgyesi András, Molnár Boldizsár, Molnár Levente, Nagy Alexander, Patócs 420 Péter, Radošická Emma, Rózsa Péter, Szabó Milos Farkas, Szabó Szilárd.
3 points:	13 students.
2 points:	6 students.
1 point:	10 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025