A K. 854. feladat (2025. április)

K. 854. János bácsi a következőket mondja magáról: „amikor születtem, édesanyám már elmúlt \(\displaystyle 20\) éves. Ha az ő akkori életkorának mindkét számjegyéhez \(\displaystyle 1\)-et adunk és a kapott szám jegyeit fölcseréljük, akkor édesanyám mostani életkorát kapjuk. Édesanyám jó egészségnek örvend, és még nincs \(\displaystyle 90\) éves. Én \(\displaystyle 56\) éves vagyok.”

Hány éves volt János bácsi édesanyja János bácsi születésekor?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az édesanya életkora a fia születésekor \(\displaystyle \overline{ab}\), ahol az \(\displaystyle a,b\) számjegyekre a feltételeknek megfelelően teljesül, hogy

\(\displaystyle a\geq 2;\quad b\geq 1.\)

János bácsi most \(\displaystyle 56\) éves, az ő születése óta az édesanyja ugyanennyi évvel lett idősebb, tehát felírhatjuk, hogy

Az (1) egyenletből kapjuk, hogy

\(\displaystyle 10a+b+56=10b+10+a+1,\)

ahonnan rendezés és egyszerűsítés után

adódik.

Mivel \(\displaystyle a\geq 2\), ezért \(\displaystyle a=2\) lehetséges és ehhez (2) szerint \(\displaystyle b=7\) tartozik.

Az \(\displaystyle a=3, b=8\) számpár nem megoldása a feladatnak, mert eszerint János bácsi édesanyja jelenleg \(\displaystyle 94\) éves lenne, és ez ellentmond a feltételnek. Ebből következően nyilván \(\displaystyle a>3\) sem lehetséges.

A megadott feltételek alapján János bácsi születésekor az édesanyja \(\displaystyle 27\) éves volt, most pedig \(\displaystyle 83\).

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	58 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai