A K. 861. feladat (2025. május)

K. 861. Egy nyolcfős baráti társaság szeretne maguk között tarokkbajnokságot rendezni. Minden partiban pontosan négyen vesznek részt, továbbá bármely két játékos azonos számú partiban játszik együtt. Bizonyítsuk be, hogy több mint 13 parti fog lezajlani.

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle m\) két játékos (hívjuk ezentúl párosnak) közös partijainak, \(\displaystyle n\) pedig az összes partinak a számát. Mivel mind az \(\displaystyle n\) partiban \(\displaystyle \binom{4}{2}\) páros szerepelt, továbbá mind a \(\displaystyle \binom{8}{2}\) páros \(\displaystyle m\) parti során játszott egyszerre, így \(\displaystyle \binom{4}{2} \cdot n = \binom{8}{2} \cdot m\). Rendezve az egyenlőséget: \(\displaystyle 3n=14m\), ahol \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\) pozitív egészek. Ebből \(\displaystyle 3|m\) és \(\displaystyle m\geq 3\) miatt \(\displaystyle n\geq 14\).

Mutatunk egy konstrukciót, hogy a 14 tényleg megvalósítható. Jelölje \(\displaystyle A, B, C, D, E, F, G, H\) az embereket, ekkor az egyes partikban résztvevők lehetnek:

\(\displaystyle \{ A, B, C, D\}, \{ C, D, E, F\}, \{ E, F, G, H\}, \{ A, B, E, F\}, \{ A, B, G, H\}, \{ A, C, E, G\}, \{ A, C, F, H\}, \linebreak \{ A, D, E, H\}, \{ A, D, F, G\}, \{ B, C, E, H\}, \{ B, C, F, G\}, \{ B, D, E, G\}, \{ B, D, F, H\}, \{ C, D, G, H\}.\)

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Izsa Ferenc Gergő.
4 pontot kapott:	Abonyi Gábor, Balla Botond, Barta Zsófia, Chen Zhibo, Csík Zoltán Richárd, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Imolya Mirella Petra, Jancsurák Flóra, Kása Richárd Zsolt, Kudomrák Lili Anna , Laczó Zoltán, Lovas Márk, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Máthé Csongor Örs, Mátyás Levente, Medgyesi András, Mikesz Milán, Molnár Levente, Nagy Alexander, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Rózsa Péter, Škerlec Denis , Szighardt Anna, Takács András Bende , Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai