A K. 866. feladat (2025. szeptember)

K. 866. Határozzuk meg az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ különböző pozitív egész számok értékét, ha tudjuk, hogy:

$$\begin{align*} a(b+c+d)&=16,\\ b(a+c+d)&=30,\\ c(a+b+d)&=42. \end{align*}$$

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ különböző pozitív egészek, ezért $\displaystyle b+c+d \geq 6$ és $\displaystyle a+c+d \geq 6$. Emiatt az $\displaystyle a(b+c+d) = 16$ összefüggésben csak $\displaystyle a= 1$ és $\displaystyle b+c+d= 16$, vagy $\displaystyle a=2$ és $\displaystyle b+c+d = 8$ jöhet szóba. A $\displaystyle b(a+c+d) = 30$ összefüggésben csak $\displaystyle b=1, 2, 3, 5$ lehetséges. $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ együttes értékére tehát összesen $\displaystyle 6$-féle lehetőséget kapunk, foglaljuk ezeket táblázatba a megfelelő $\displaystyle b+c+d$ és $\displaystyle a+c+d$, illetve az ezekből számított $\displaystyle c+d$ értékekkel együtt:

$\displaystyle \mathbf{a}$	$\displaystyle \mathbf{1}$	$\displaystyle \mathbf{1}$	$\displaystyle \mathbf{1}$	$\displaystyle \mathbf{2}$	$\displaystyle \mathbf{2}$	$\displaystyle \mathbf{2}$
$\displaystyle b+c+d$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle \mathbf{b}$	$\displaystyle \mathbf{2}$	$\displaystyle \mathbf{3}$	$\displaystyle \mathbf{5}$	$\displaystyle \mathbf{1}$	$\displaystyle \mathbf{3}$	$\displaystyle \mathbf{5}$
$\displaystyle a+c+d$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 6$
$\displaystyle \mathbf{c+d = b+c+d-b}$	$\displaystyle \mathbf{14}$	$\displaystyle \mathbf{13}$	$\displaystyle \mathbf{11}$	$\displaystyle \mathbf{7}$	$\displaystyle \mathbf{5}$	$\displaystyle \mathbf{3}$
$\displaystyle \mathbf{c+d = a+c+d-a}$	$\displaystyle \mathbf{14}$	$\displaystyle \mathbf{9}$	$\displaystyle \mathbf{5}$	$\displaystyle \mathbf{28}$	$\displaystyle \mathbf{8}$ $\displaystyle \mathbf{4}$

A kétféle módon számított $\displaystyle c+d$ értékekben csak $\displaystyle a=1$ és $\displaystyle b=2$ esetén találunk egyezést, így $\displaystyle c+d = 14$.

A $\displaystyle c(a+b+d) = 42$ tehát $\displaystyle c(3+d) = 42$-vel egyenértékű.

Mivel $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=2$ miatt $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ is legalább $\displaystyle 3$, ezért $\displaystyle c+d=14$ miatt értékük legfeljebb $\displaystyle 11$. Így $\displaystyle 3+d$ a $\displaystyle 6$ és $\displaystyle 14$ közé esik, vagyis $\displaystyle c(3+d) = 42$-ből láthatóan $\displaystyle c$ legalább $\displaystyle 3$ és legfeljebb $\displaystyle 7$. Ugyanakkor $\displaystyle c$ osztója a $\displaystyle 42$-nek, ezért csak $\displaystyle c= 3, c=6$ vagy $\displaystyle c= 7$ lehetséges. Az utóbbi két eset nem ad megoldást, mert $\displaystyle c(3+d) = 42$ szerint $\displaystyle d=4$, illetve $\displaystyle d=3$ lenne és ezekben az esetekben $\displaystyle c+d=10$, ez pedig ellentmond $\displaystyle c+d=14$-nek.

Egy megoldást kapunk tehát: $\displaystyle a = 1$, $\displaystyle b = 2$, $\displaystyle c= 3$ és $\displaystyle d = 11$. Ezek a számok eleget is tesznek a kezdeti feltételeknek.

2. megoldás. Az első két egyenlet különbségéből $\displaystyle bc-ac+bd-ad=14$, szorzattá alakítással

$\displaystyle (1)$

$\displaystyle (b-a)(c+d)=14.$

Az (1) eredményből következik, hogy egyrészt $\displaystyle b>a$, másrészt az, hogy $\displaystyle b-a$ és $\displaystyle c+d$ pozitív osztója a $\displaystyle 14$-nek, ez csak négyféle esetben lehetséges:

$\displaystyle (i) $

$\displaystyle b-a=1,\quad c+d=14;$

$\displaystyle (ii)$

$\displaystyle b-a=2,\quad c+d=7;$

$\displaystyle (iii)$

$\displaystyle b-a=7,\quad c+d=2;$

végül

$\displaystyle (iiii)$

$\displaystyle b-a=14,\quad c+d=1.$

Az (iiii) eset nyilvánvaló, hogy nem lehetséges, hiszen $\displaystyle c,d$ pozitív egészek, az (iii) pedig azért nem fordulhat elő, mert $\displaystyle c+d=2$-ből $\displaystyle c=d=1$ következne, de a számok különbözők.
Az (i) esetből azt kapjuk, hogy $\displaystyle a=b-1$, így $\displaystyle c+d=14$ alapján $\displaystyle a+c+d=b+13$, tehát a második egyenletből

$\displaystyle (2)$

$\displaystyle b(b+13)=30.$

(2) szerint $\displaystyle b$ és $\displaystyle b+13$ osztópárja a $\displaystyle 30$-nak és mivel $\displaystyle 30=1\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, ezért egyszerű számítással adódik, hogy csak $\displaystyle b=2$ lehetséges, amelyből $\displaystyle a=1$ adódik. Felhasználva a kapott eredményeket és az (i) összefüggést, a harmadik egyenletből

$\displaystyle (3)$

$\displaystyle (14-d)(3+d)=42.$

(3) alapján látható, hogy a $\displaystyle 14-d$ és a $\displaystyle 3+d$ a $\displaystyle 42$ pozitív osztópárjai, a $\displaystyle 42$ szorzatalakja pedig $\displaystyle 42=1\cdot 2\cdot 3\cdot 7$. Nyilvánvaló, hogy $\displaystyle d\neq 1$ és $\displaystyle d\neq 2$, hiszen már tudjuk, hogy $\displaystyle a=1$ és $\displaystyle b=2$, a számok pedig különbözők. Egyszerű számítással adódik, hogy többi, $\displaystyle 14$-nél kisebb pozitív egész $\displaystyle d$ számot a $\displaystyle 14-d$-be írva csak $\displaystyle d=11$ esetében kapjuk meg a $\displaystyle 42$ osztópárját, ekkor $\displaystyle 14-d=3$ és $\displaystyle 3+d=14$, ebből $\displaystyle c+d=14$ szerint $\displaystyle c=3$. Az

$\displaystyle a=1;\quad b=2;\quad c=3;\quad d=11$

számnégyes megoldása a feladatnak, mert számolással ellenőrizhető, hogy az egyenletrendszer mindhárom egyenletét kielégíti.
Tekintsük most a (ii)-nek megfelelő lehetőséget, ebből $\displaystyle a=b-2$ következik, és emiatt $\displaystyle a+c+d=b+c+d-2=b+5$, tehát a második egyenlet a következő alakban is írható:

$\displaystyle (4)$

$\displaystyle b(b+5)=30.$

A (4) egyenlet szerint $\displaystyle b$ és $\displaystyle b+5$ a $\displaystyle 30$ pozitív osztópárja kellene, hogy legyen. Számítással egyszerűen belátható, hogy a (4) egyenletnek eleget tevő osztópárja nincs a $\displaystyle 30$-nak, ezért az (ii) eset nem ad megoldást.
Minden esetet megvizsgáltunk és azt kaptuk, hogy az egyenletrendszert csak az

$\displaystyle a=1;\quad b=2;\quad c=3;\quad d=11,$

különböző pozitív egészekből álló számnégyes elégíti ki, ez a feladat egyetlen megoldása.

Statisztika:

149 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Adamcsek Ágnes, Barát Balázs Botond, Biró Beáta , Cseh Sára Éva, Csikai Tímea, Csikós Attila, Csutak András, Csuvár Barnabás, Dong Xueni, Egyedi Bernadett, Engi Balázs, Fukuda-Horváth Soma, Gazsi Levente, Győrffy Réka Rebeka, Hajnal Kamilla, Horváth Máté, Káló Luca, Kispál Villő, Körmöndi Csanád, Molnár Gábor 2, Nagy Ádám Máté, Nagy Borostyán, Olti Tamás, Palik Ábris Csanád, Papp Dénes, Percze Gréta, Pintér-Lukács Erik, Pirkhoffer Bence, Seres Barnabás, Szabó Zoárd, Száraz Gergő, Szendrei Flóra , Török-Baczó Lilla Viktória, Urbancsik Botond, Verebély Nadin.

4 pontot kapott: 22 versenyző.

3 pontot kapott: 13 versenyző.

2 pontot kapott: 16 versenyző.

1 pontot kapott: 14 versenyző.

0 pontot kapott: 33 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 15 dolgozat.

A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai

\(\displaystyle \mathbf{a}\)	\(\displaystyle \mathbf{1}\)	\(\displaystyle \mathbf{1}\)	\(\displaystyle \mathbf{1}\)	\(\displaystyle \mathbf{2}\)	\(\displaystyle \mathbf{2}\)	\(\displaystyle \mathbf{2}\)
\(\displaystyle b+c+d\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 8\)
\(\displaystyle \mathbf{b}\)	\(\displaystyle \mathbf{2}\)	\(\displaystyle \mathbf{3}\)	\(\displaystyle \mathbf{5}\)	\(\displaystyle \mathbf{1}\)	\(\displaystyle \mathbf{3}\)	\(\displaystyle \mathbf{5}\)
\(\displaystyle a+c+d\)	\(\displaystyle 15\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 30\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle \mathbf{c+d = b+c+d-b}\)	\(\displaystyle \mathbf{14}\)	\(\displaystyle \mathbf{13}\)	\(\displaystyle \mathbf{11}\)	\(\displaystyle \mathbf{7}\)	\(\displaystyle \mathbf{5}\)	\(\displaystyle \mathbf{3}\)
\(\displaystyle \mathbf{c+d = a+c+d-a}\)	\(\displaystyle \mathbf{14}\)	\(\displaystyle \mathbf{9}\)	\(\displaystyle \mathbf{5}\)	\(\displaystyle \mathbf{28}\)	\(\displaystyle \mathbf{8}\) \(\displaystyle \mathbf{4}\)

149 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adamcsek Ágnes, Barát Balázs Botond, Biró Beáta , Cseh Sára Éva, Csikai Tímea, Csikós Attila, Csutak András, Csuvár Barnabás, Dong Xueni, Egyedi Bernadett, Engi Balázs, Fukuda-Horváth Soma, Gazsi Levente, Győrffy Réka Rebeka, Hajnal Kamilla, Horváth Máté, Káló Luca, Kispál Villő, Körmöndi Csanád, Molnár Gábor 2, Nagy Ádám Máté, Nagy Borostyán, Olti Tamás, Palik Ábris Csanád, Papp Dénes, Percze Gréta, Pintér-Lukács Erik, Pirkhoffer Bence, Seres Barnabás, Szabó Zoárd, Száraz Gergő, Szendrei Flóra , Török-Baczó Lilla Viktória, Urbancsik Botond, Verebély Nadin.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	15 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?