 |
A P. 5016. feladat (2018. március) |
P. 5016. Egy homogén tömegeloszlású rúd fekszik a vízszintes asztallapon. A rudat az egyik végén ható, a rúdra mindenkor merőleges erővel lassan függőleges helyzetbe akarjuk hozni. Legalább mekkora a súrlódási együttható a rúd és az asztallap között, ha a rúd a felállítás közben nem csúszik meg?
A Kvant nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A rúdra ható erők és forgatónyomatékok egyensúlyának feltételéből kiszámíthatjuk a nyomóerőt és a súrlódási erőt:
\(\displaystyle N(\alpha)=\frac{G}{2}(2-\cos^2\alpha),\qquad S(\alpha)=\frac{G}{2}\sin\alpha \cos\alpha.\)
A rúd akkor nem csúszik meg, ha minden \(\displaystyle \alpha\) szögnél
\(\displaystyle \frac{S(\alpha)}{N(\alpha)}\equiv \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{2-\cos^2\alpha}<\mu.\)
A bal oldalon álló függvény legnagyobb értéke körülbelül 0,35 (ezt numerikus vagy grafikus módszerrel lehet belátni); ennél nagyobb súrlódási együttható esetén a rúd semelyik helyzeténél nem fog megcsúszni.
Megjegyzés. Differenciálszámítás segítségével megmutatható, hogy
\(\displaystyle \mu_\text{krit.}=\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
Statisztika:
50 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Absur Khan Siam, Békési Ábel, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Csire Roland, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Girus Kinga, Guba Zoltán, Hajnal Dániel Konrád, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák 023 Áron, Kozák András, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Póta Balázs, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Szakály Marcell, Takács Árpád, Vaszary Tamás. 4 pontot kapott: Bartók Imre, Berke Martin, Bonifert Balázs, Csuha Boglárka, Fialovszky Márk, Magyar Róbert Attila, Pácsonyi Péter, Pszota Máté, Tafferner Zoltán. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2018. márciusi fizika feladatai