Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5183. feladat (2019. december)

P. 5183. Az ábrán látható függőleges sínpár felső végét \(\displaystyle L\) induktivitású tekerccsel zártuk. A sínek távolsága \(\displaystyle \ell\), rajtuk súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle m\) tömegű, elhanyagolható ellenállású rúd. A külső mágneses tér \(\displaystyle \boldsymbol B\) indukcióvektora vízszintes és merőleges a sínek síkjára.

A rudat elengedve

\(\displaystyle a)\) legfeljebb mekkora feszültség indukálódik a tekercsben;

\(\displaystyle b)\) legfeljebb mekkora lesz az indukált áram erőssége?

Varga István (1952–2007) feladata

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a rúd pillanatnyi elmozdulását \(\displaystyle x(t)\)-vel, az áramerősséget \(\displaystyle I(t)\)-vel, és a tekercs végpontjai közötti feszültséget \(\displaystyle U(t)\)-vel! A gravitációs helyzeti energia csökkenése megegyezik a rúd mozgási energiájának és a tekercs mágneses energiájának növekedtével:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle mgx(t)=\frac{L}{2}I(t)^2+\frac{m}{2}v(t)^2.\)

Igaz továbbá, hogy a rúdban indukálódó \(\displaystyle U(t)=B\ell v(t)\) feszültség a tekercs végpontjai közötti feszültség ugyanakkora:

\(\displaystyle B\ell v(t)=L\frac{\Delta I(t)}{\Delta t},\)

amit \(\displaystyle v(t)=\frac{\Delta x(t)}{\Delta t}\) miatt így is felírhatunk:

\(\displaystyle \frac{\Delta (LI -B\ell x)}{\Delta t}= 0, \qquad \text{azaz} \qquad LI(t)-B\ell x(t)=\text{állandó}.\)

Az állandó értéke nulla, hiszen a rúd elengedésekor \(\displaystyle I(0)=v(0)=0.\) Látjuk tehát, hogy az áramkör áramerőssége arányos a rúd elmozdulásával (süllyedésével):

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle I(t)=\frac{B\ell}{L}\, x(t).\)

Ezt visszaírva (1)-be a

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle v^2=2gx-\frac{B^2\ell^2}{mL}\,x^2\)

kvadratikus kifejezést kapjuk. Ebből leolvasható, hogy a rúd legnagyobb elmozdulása (ahol a sebesség ismét nullává válik):

\(\displaystyle x_\text{max}=\frac{2mgL}{B^2\ell^2}.\)

Az áramerősség legnagyobb értékét a legnagyobb elmozdulásból (2) alapján számíthatjuk ki:

\(\displaystyle I_\text{max}=\frac{2mg}{B\ell}.\)

A rúd legnagyobb sebessége a (3) kvadratikus kifejezés maximális értéke:

\(\displaystyle v_\text{max}=\frac{g}{B \ell }\sqrt{mL}.\)

(Ezt \(\displaystyle v(x)\) teljes négyzetté alakításával vagy szélsőérték-számítással,esetleg a parabola tulajdonságainak kihasználásával láthatjuk be.) A legnagyobb indukált feszültség értéke:

\(\displaystyle U_\text{max}=B\ell v_\text{max}=g\sqrt{mL}.\)

Megjegyzés. Nem tartozott a feladat kérdései közé hogy megadjuk a rúd elmozdulásának, az indukálódó feszültségnek és az áramerősségnek időbeli változását. Ezt – elemi eszközökkel – úgy tehetjük meg, hogy felismerjük a feladatban szereplő folyamatok és a (kezdetben nyújtatlan) rugóra akasztott test harmonikus rezgőmozgása közötti hasonlóságot. Így beláthatjuk, hogy

\(\displaystyle x(t)=\frac{mgL}{B^2\ell^2} (1-\cos \omega t),\qquad v(t)= \frac{g\sqrt{mL}}{B \ell}\,\sin\omega t,\)

továbbá

\(\displaystyle U(t)= {g\sqrt{mL}} \,\sin\omega t \qquad \text{és} \qquad I(t)=\frac{mg}{B\ell}(1-\cos \omega t); \)

ahol \(\displaystyle \omega=\frac{B\ell}{\sqrt{mL}}\).


Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bokor Endre, Bonifert Balázs, Horváth 999 Anikó, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Tóth Ábel.
4 pontot kapott:Györgyfalvai Fanni.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai