A P. 5184. feladat (2019. december) |
P. 5184. Egy nagy felbontású optikai rács a merőlegesen ráeső lézersugarat már első rendben \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben képes eltéríteni. Mi történik, ha az eltérített lézersugár útjába egy másik, ugyanilyen optikai rácsot helyezünk
\(\displaystyle a)\) az eredeti ráccsal párhuzamosan;
\(\displaystyle b)\) az eredeti rácsra merőlegesen?
(A két rács rései mindkét esetben párhuzamosak egymással.)
Közli: Radnai Gyula, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle d\) rácsállandójú optikai rácson \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú fény olyan \(\displaystyle \alpha_n\) szögben hajlik el, amelyre
\(\displaystyle \sin\alpha_n=n\,\frac{\lambda}{d}; \qquad n=0, \pm 1; \pm 2\ldots.\)
Esetünkben \(\displaystyle \alpha_1=45^\circ,\) ahonnan \(\displaystyle \lambda=d/\sqrt 2\) következik. Egy ilyen rácsnál az elhajlás rendje csak \(\displaystyle n=-1, 0, +1\) lehet, \(\displaystyle \vert n \vert \ge 2\) esetén az
\(\displaystyle \sin\alpha_n=\frac{n}{ \sqrt{2}}\)
egyenletnek nincs (valós) megoldása.
\(\displaystyle a)\) Az elhajló sugarak útjába \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben helyezett, az elsővel megegyező tulajdonságú és azzal párhuzamos rács szomszédos réseire \(\displaystyle \pm d\sin 45^\circ=d/\sqrt{2}\) útkülönbséggel érkeznek a fényhullámok, így most a felület normálisától mért \(\displaystyle \alpha'\) szöggel kifejezve az erősítés feltételét ezt kapjuk:
\(\displaystyle \frac{d}{\sqrt2}+d\sin\alpha'=n'\,\lambda=n'\frac{d}{\sqrt2},\qquad \text{vagyis}\qquad \sin\alpha'=\frac{n'-1}{\sqrt2}.\)
Most csak az \(\displaystyle n'=2,\,1~\text{és}~0\) számokkal jelzett rendek valósulnak meg, és a megfelelő szögek:
\(\displaystyle \alpha_2'= 45^\circ,\qquad \alpha_1'=0,\qquad \alpha_2'= -45^\circ.\)
\(\displaystyle b)\) Ugyanez a helyzet a merőlegesen álló rácsoknál is, az elhajlás szöge itt is (a rács normálisától mérve) csak \(\displaystyle \pm 45^\circ\) vagy nulla lehet.
A kétféleképpen álló rácson elhajló sugarakat az ábra mutatja. A rácsok nemcsak ,,előrefelé'', hanem visszafelé is szórják a fényt, ugyanolyan szögben, mint előre. Ezeket a fénysugarakat az ábrán az áttekinthetőség kedvéért nem tüntettük fel.
Statisztika:
7 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Fülöp Sámuel Sihombing, Selmi Bálint. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai