A P. 5227. feladat (2020. április)

P. 5227. \(\displaystyle a)\) Két doboz mindegyikében egy-egy 1 k\(\displaystyle \Omega\)-os, 2 k\(\displaystyle \Omega\)-os, 3 k\(\displaystyle \Omega\)-os, 4 k\(\displaystyle \Omega\)-os és 5 k\(\displaystyle \Omega\)-os ellenállás található. A két dobozból találomra kiveszünk egy-egy ellenállást, és sorosan kapcsoljuk ezeket. Mekkora valószínűséggel lesz az eredő ellenállás 2 k\(\displaystyle \Omega\), 3 k\(\displaystyle \Omega\), 4 k\(\displaystyle \Omega\), 5 k\(\displaystyle \Omega\), 6 k\(\displaystyle \Omega\), 7 k\(\displaystyle \Omega\), 8 k\(\displaystyle \Omega\), 9 k\(\displaystyle \Omega\) illetve 10 k\(\displaystyle \Omega\)?

\(\displaystyle b)\) Másik két doboz mindegyikében egy-egy 60 k\(\displaystyle \Omega\)-os, 30 k\(\displaystyle \Omega\)-os, 20 k\(\displaystyle \Omega\)-os, 15 k\(\displaystyle \Omega\)-os és 12 k\(\displaystyle \Omega\)-os ellenállás található. A két dobozból találomra kiveszünk egy-egy ellenállást, és párhuzamosan kapcsoljuk ezeket. Mekkora valószínűséggel lesz az eredő ellenállás 30 k\(\displaystyle \Omega\), 20 k\(\displaystyle \Omega\), 15 k\(\displaystyle \Omega\), 12 k\(\displaystyle \Omega\), 10 k\(\displaystyle \Omega\), illetve 10 k\(\displaystyle \Omega\)-nál kisebb értékű?

Közli: Tornyos Tivadar Eörs, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Bármelyik ellenállás-pár kihúzásának ugyanakkora az esélye, és mivel összesen 25 lehetőség van, az egyes valószínűségek nagysága \(\displaystyle \frac1{25}\). A soros eredő nagysága az egyes ellenállások összege. Mivel 2 k\(\displaystyle \Omega\)-os vagy 10 k\(\displaystyle \Omega\)-os összeg csak egyféleképpen valósulhat meg, ezek valószínűsége: \(\displaystyle p_2=p_{10}=\frac1{25}\). (A valószínűségek indexe az eredő ellenállás k\(\displaystyle \Omega\)-ban mért értékére utal.) A 3 k\(\displaystyle \Omega\)-os összeg kétféleképpen is kialakulhat (\(\displaystyle 1+2\) vagy \(\displaystyle 2+1\)), és ugyanez igaz a 9 k\(\displaystyle \Omega\)-ra is, tehát \(\displaystyle p_3=p_9=\frac2{25}\). Hasonló megfontolásból adódik, hogy \(\displaystyle p_4=p_8=\frac3{25}\), \(\displaystyle p_5=p_7=\frac4{25}\), és végül \(\displaystyle p_6=\frac5{25}\). Természetesen a valószínűségek összegére teljesül, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=2}^{10}p_i=1.\)

\(\displaystyle b)\) Párhuzamos kapcsolásnál az ellenállások reciproka adódik össze, ez adja meg az eredő reciprokát. Vegyük észre, hogy az egyes dobozokban található ellenállás-reciprokok számtani sorozatot alkotnak, így az előzőekben leírtak itt is alkalmazhatók. Az eredő csak úgy lehet 30 k\(\displaystyle \Omega\), ha mindkét dobozból a legnagyobb ellenállást vesszük ki, ennek esélye \(\displaystyle \frac1{25}=4\%\). A 20 k\(\displaystyle \Omega\)-os eredő kétféleképpen (60 és 30, illetve 30 és 60 \(\displaystyle \Omega\)-ból) alakulhat ki, ennek esélye tehát 8%. Hasonlóan adódik, hogy a 15 k\(\displaystyle \Omega\)-os eredő esélye 12%, a 12 k\(\displaystyle \Omega\)-osé 16%, és végül a 10 k\(\displaystyle \Omega\)-os eredőt 20% valószínűséggel kapjuk. Ezen valószínűségek összege 60%, az ezektől eltérő (10 \(\displaystyle \Omega\)-nál kisebb) eredő ellenállás kialakításának esélye tehát 40%.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Zsolt, Csécsi Marcell, Csizy Gergő , Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete Levente, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Horváth 127 Ádám, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Schmercz Blanka, Sümegi Géza, Szabados Noémi, Szász Levente, Tanner Norman, Török 111 László, Vakaris Klyvis, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	Bánáti Tamás, Fiam Regina, Horváth Antal, Lévay Kristóf, Nagyváradi Dániel, Takács Dóra, Vadász Roland.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai