A P. 5464. feladat (2023. február)

P. 5464. Egy függőleges tengelyű, lefelé nyíló parabola \(\displaystyle F\) fókuszpontján keresztül különböző hajlásszögű lejtőket fektetünk. Mekkora a hajlásszöge annak a lejtőnek, amelyen az \(\displaystyle F\) pontból kezdősebesség nélkül induló, súrlódásmentesen lecsúszó pontszerű test a lehető legrövidebb idő alatt éri el a parabolát?

Faragó Andor (1877–1944) feladata nyomán\(\displaystyle ^*\)

*Faragó Andor indította újra 1925-ben az I. világháború miatt megszüntetett KöMaL-t, és annak 1938-ig szerkesztője, kiadója volt. Ő vezette be a kiemelkedő feladatmegoldók fényképeinek közlését.

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a parabola fókusztávolsága \(\displaystyle f\), és jelöljük a parabola \(\displaystyle P\) pontjának \(\displaystyle F\)-től mért távolságát \(\displaystyle s\)-sel. A parabola definíciója szerint a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle e\) vezéregyenestől is \(\displaystyle s\) távolságra van.

Az ábra szerint a \(\displaystyle P\) pontba érkező test lejtőjének hajlásszögére igaz, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{s-2f}{s}=1- 2\dfrac{f}{s},\)

és ennek megfelelően a test gyorsulása

\(\displaystyle a=g\sin\alpha=\left(1- 2\dfrac{f}{s}\right)g.\)

Ha a csúszás ideje \(\displaystyle t\), akkor az egyenletesen gyorsuló mozgás út-idő képlete szerint

\(\displaystyle t=\sqrt{\dfrac{2s}{a}},\)

vagyis

\(\displaystyle \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{g}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{2f}{s^2}\right),\)

amit teljes négyzetté alakíthatunk:

\(\displaystyle \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{g}{16\,f}-gf\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{4f} \right)^2 \le \dfrac{g} {16\,f}=\dfrac{1}{t_\text{min}^2}.\)

Látszik, hogy a legrövidebb lecsúszási idő:

\(\displaystyle t_\text{min}=4\sqrt{\dfrac{f}{g}},\)

ami akkor valósul meg, amikor

\(\displaystyle s=4f, \qquad \sin\alpha=\dfrac{1}{2}, \qquad \alpha=30^\circ.\)

Statisztika:

A P. 5464. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2023. februári fizika feladatai