Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5478. feladat (2023. március)

P. 5478. Az üvegből készült, síkdomború lencsét a sík oldalánál víz, a domború oldalánál levegő határolja.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a lencse két oldali fókusztávolságának aránya?

\(\displaystyle b)\) Mekkora ez az arány, ha a határoló közegeket felcseréljük?

A lencse vékony és kis nyílásszögű. Az üveg törésmutatója 3/2, a vízé 4/3.

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.


Megoldás. Vázlatosan ábrázoltuk a két elrendezést. A lencse domború oldalának görbületi sugarát jelöljük \(\displaystyle R\)-rel.

A feladatot kétféle módon is megoldjuk, egyszer a Snellius–Descartes-törvény alkalmazásával, majd pedig a Fermat-elv felhasználásával levezethető általánosított leképezési törvény segítségével.

I. megoldás.Tekintsük alaphelyzetnek azt, amikor a lencsét mindkét oldalról azonos közeg határolja, és vizsgáljuk meg, hogyan változnak a fókusztávolságok, ha a sík oldal felőli közeget másmilyenre cseréljük!

\(\displaystyle a)\) Amikor a lencse mindkét oldalán levegő van, az \(\displaystyle F_{\rm a,1}\) és \(\displaystyle F_{\rm a,2}\) fókuszpontok szimmetrikusan, a lencsétől \(\displaystyle f_{\rm a}\) távolságra helyezkednek el. Ha a sík felület felőli térrészt vízzel töltjük ki, a domború oldal felőli fókuszpont pozíciója nem változik, mert a sík felőli oldalról a tengellyel párhuzamosan érkező sugarak törés nélkül lépnek be az üvegbe, következésképp kilépéskor ugyanolyan szögben törnek meg, akár levegő, akár víz van a belépő (sík) oldalon.

1. ábra

A domború oldal felől a tengellyel párhuzamosan érkező sugarak útja a lencsében független a sík oldal felőli határoló közegtől, csak a kilépés szöge függ attól (1. ábra). A vákuumra (levegőre) vonatkoztatott törésmutatókat értelemszerűen \(\displaystyle n_{\rm ü}\)-vel és \(\displaystyle n_{\rm v}\)-vel jelölve, és kihasználva, hogy az üveg vízre vonatkoztatott törésmutatója \(\displaystyle n_{\rm üveg}/n_{\rm víz}\), a 2. ábrán jelölt szögekre (amelyek elég kicsinyek ahhoz, hogy az \(\displaystyle x\approx \sin x\approx \tg x\) közelítést alkalmazzuk), az

\(\displaystyle \frac{\alpha}{\gamma}=n_{\rm üveg},\qquad\textrm{illetve}\qquad\frac{\beta}{\gamma}=\frac{n_{\rm üveg}}{n_{\rm víz}} \)

összefüggéseket írhatjuk fel.

2. ábra

Ennek megfelelően a vízben az \(\displaystyle F_{\rm{a,2}}^{\prime}\) fókuszpont, ahogy azt az ábráról leolvashatjuk, a lencsétől

\(\displaystyle f_a^{\prime}=\frac{\alpha}{\beta}f_a \)

távolságra kerül, azaz

\(\displaystyle \frac{f_a^{\prime}}{f_a}=\frac{\alpha}{\beta}=n_{\rm víz}=\frac43. \)

\(\displaystyle b)\) Ez a kérdés analóg az \(\displaystyle a)\) kérdéssel, ha alaphelyzetnek azt tekintjük, amikor a lencsét mindkét oldalról víz határolja, és ehhez viszonyítva vizsgáljuk azt az esetet, amikor a sík oldal felől levegő van. A jelöléseket a 3. ábra magyarázza: \(\displaystyle F_{b,1}\) és \(\displaystyle F_{b,2}\) a fókuszpontok a feltételezett alaphelyzetben, \(\displaystyle f_b\) a távolságuk a lencsétől, \(\displaystyle F_{b,2}^{\prime}\) és \(\displaystyle f_b^{\prime}\) pedig a sík oldal felőli fókuszpont és fókusztávolság a kérdéses helyzetben.

3. ábra

Az előző gondolatmenetet megismételve

\(\displaystyle \frac{\delta}{\varepsilon}=\frac{1}{n_{\rm víz}} \)

adódik, ahonnan

\(\displaystyle \frac{f_{b}^{\prime}}{f_{b}}=\frac{1}{n_{\rm víz}}=\frac34. \)

Megjegyzés. Megállapítható, hogy mindkét esetben azon az oldalon, ahol a víz van, a fókusztávolság \(\displaystyle n_{\rm víz}\)-szer nagyobb, mint a másikon. Ugyanakkor az nem igaz, hogy a vízes és a levegős oldalak felcserélésével a két fókusztávolság egyszerűen helyet cserélne, ugyanis a sík-domború vékony lencsékre vonatkozó képlet alapján (ha a domború oldal sugara \(\displaystyle R\)), akkor

\(\displaystyle f_{\rm a}=\frac{R}{(n_{\rm üveg}-1)}, \qquad\textrm{így}\qquad f_{\rm a}^{\prime}=\frac{n_{\rm víz}R}{(n_{\rm üveg}-1)}, \)

míg

\(\displaystyle f_{\rm b}=\frac{n_{\rm víz}R}{(n_{\rm üveg}-n_{\rm víz})}, \qquad\textrm{tehát}\qquad f_{\rm b}^{\prime}=\frac{R}{(n_{\rm üveg}-n_{\rm víz})}. \)

II. megoldás. Tekintsük a vékony lencsék leképezési törvényét abban az általános esetben, amikor a lencse \(\displaystyle R_1\) görbületi sugarú oldalán (mondjuk a bal oldalon) \(\displaystyle n_1\) törésmutatójú közeg, a másik, \(\displaystyle R_2\) görbületi sugarú (jobb) oldalán pedig \(\displaystyle n_2\) törésmutatójú közeg található, és a lencse anyagának törésmutatója \(\displaystyle n\). A lencse bal oldalán, a lencsétől \(\displaystyle t\) távolságra egy tárgy található, a másik oldalon pedig \(\displaystyle k\) távolságra keletkezik a tárgy képe (4. ábra).

4. ábra

A Fermat-elv alkalmazásával (lásd Woynarovich Ferenc: A Fermat-elv egy alkalmazása c. cikkét a KöMaL honlapján, https://www.komal.hu/cikkek/cikklista.h.shtml) viszonylag könnyen megkaphatjuk, hogy fennáll:

\(\displaystyle (*)\)\(\displaystyle \frac{n_1}{t}+\frac{n_2}{k}=\frac{n-n_1}{R_1}+\frac{n-n_2}{R_2}.\)

Ebből az összefüggésből (a megfelelő törésmutatók és görbületi sugarak behelyettesítése után) meghatározhatjuk mind a négy esetben a fókusztávolságot. A sík görbületi sugarát és a párhuzamosan érkező (illetve távozó) fénysugarak tárgy-, illetve képtávolságát ,,végtelen nagynak'' tekintjük, és ezek reciproka helyére nullát írunk.

\(\displaystyle a)\) Legyen a lencse sík oldalán víz, a domború oldalán levegő. Ekkor \(\displaystyle n_1=1\) és \(\displaystyle n_2=n_{\rm víz}=\tfrac43\), \(\displaystyle n=n_{\rm üveg }=\tfrac32\), továbbá \(\displaystyle R_1=R\) és \(\displaystyle R_2=\infty\). Ha a jobbra haladó fény párhuzamos nyalábban hagyja el a lencsét, akkor \(\displaystyle k=\infty\), \(\displaystyle t=f_a\), és így \(\displaystyle (*)\) alapján

\(\displaystyle \frac1{f_a}=\frac{(3/2)-1}{R},\)

azaz a levegő oldalán a fókusztávolság

\(\displaystyle f_a=2R.\)

Ha viszont \(\displaystyle t=\infty\) és \(\displaystyle k=f_a',\) akkor

\(\displaystyle \frac{4/3}{f_a'}=\frac{(3/2)-1}{R},\)

tehát a víz felöli oldalon a fókusztávolság

\(\displaystyle f_a'=\frac{8}{3} R.\)

Látjuk, hogy \(\displaystyle \frac{f_a'}{f_a}=\frac43.\)

\(\displaystyle b)\) A határoló közegeket felcserélve \(\displaystyle n_1=\tfrac43\) és \(\displaystyle n_2=1\) törésmutatókkal kell számoljunk. Most a víz oldalán a fókusztávolság \(\displaystyle f_b=8R\), a levegő oldalán pedig \(\displaystyle f_b'=6R\), az arányuk tehát \(\displaystyle \frac{f_b'}{f_b}=\frac34.\)


Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Dercsényi Bence, Fehérvári Donát, Halász Henrik, Szabó Zsombor, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:Bencz Benedek, Klement Tamás, Molnár Kristóf.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai