Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5480. feladat (2023. március)

P. 5480. Egy függőleges sík adott \(\displaystyle P\) pontján keresztül különböző hajlásszögű (a síkra merőleges) lejtőket fektetünk, és ezeken kezdősebesség nélkül indítva pontszerűnek tekinthető testeket csúsztatunk le. Hol helyezkednek el azok a pontok, ahová a lecsúszó testek adott \(\displaystyle t\) idő alatt eljutnak? A súrlódási együttható a lejtők és a testek között \(\displaystyle \mu\).

Galileo Galilei (1564–1642) feladata nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.


I. megoldás. Válasszunk egy olyan koordináta-rendszert, amelynek origója a \(\displaystyle P\) pont, \(\displaystyle x\) tengelye vízszintes, \(\displaystyle y\) tengelye pedig függőlegesen felfelé mutat (1. ábra).

1. ábra

A súrlódva lecsúszó test gyorsulása az \(\displaystyle \arctg\mu<\alpha\le 90^\circ\) hajlásszögű lejtőn

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle a(\alpha)=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha),\)

így az adott \(\displaystyle t\) idő alatt

\(\displaystyle s(\alpha)=\frac{a(\alpha)}{2}t^2=\frac{g}{2}t^2(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\)

utat tesz meg. Érdemes bevezetni a \(\displaystyle h=gt^2/2\) jelölést (\(\displaystyle h\) az a távolság, amennyit a szabadon eső test \(\displaystyle t\) idő alatt megtesz), ezzel a test koordinátái

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle x(\alpha)=h(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\cos\alpha,\)
\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle y(\alpha)=-h(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\sin\alpha.\)

A (2) és (3) összefüggések a keresett pontokat leíró görbe paraméteres egyenletei, amelyekből \(\displaystyle \alpha\) kiküszöbölése után megkaphatjuk a keresett mértani hely egyenletét \(\displaystyle y=f(x)\) vagy \(\displaystyle F(x,y)=0\) alakban. Felhasználva a

\(\displaystyle \sin\alpha\,\cos\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2},\qquad \sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\)

trigonometrikus azonosságokat, (2) és (3) így írható át:

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle x+\frac{\mu h}{2 }=\frac{h}{2}\left(\sin 2\alpha-\mu \cos 2\alpha\right),\)
\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle y+\frac{h}{2}=\frac{h}{2}\left(\mu\sin 2\alpha+\cos 2\alpha\right).\)

Most már könnyen kiküszöbölhetjük az \(\displaystyle \alpha\) paramétert, ha a (3) és (4) egyenleteket négyzetre emeljük és összeadjuk:

\(\displaystyle \left( x+\frac{\mu h}{2 }\right)^2+ \left( y+\frac{h}{2}\right)^2=\frac{h^2}4(1+\mu^2).\)

2. ábra

Ez egy olyan kör egyenlete, amelynek sugara

\(\displaystyle R=\frac{h}{2}\sqrt{1+\mu^2},\)

középpontjának koordinátái pedig

\(\displaystyle x_0=-\frac{\mu h}{2 }; \qquad y_0=-\frac{ h}{2 }.\)

Mivel a fenti számolás csak a \(\displaystyle 90^\circ\ge \alpha>\arctg \mu\) hajlásszögű lejtőkre érvényes, a kérdéses pontok a 2. ábrán látható körnek csak a zölden jelölt részén helyezkednek el. Amennyiben \(\displaystyle \alpha<-\arctg \mu\) (vagyis a \(\displaystyle P\) ponttól induló lejtő bal felé lejt), a kérdéses pontok a zöld körívnek az \(\displaystyle y\) tengelyre vett tükörképén helyezkednek el. Ha pedig

\(\displaystyle \vert\alpha\vert\le\arctg \mu,\)

a test el se indul a lejtőn, folyamatosan (tehát \(\displaystyle t\) idő elteltével is) a \(\displaystyle P\) pontban marad.

II. megoldás. Egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű, \(\displaystyle \mu\) súrlódási együtthatóval jellemezhető lejtőre helyezett test akkor indul el (akkor tud gyorsulni), ha

\(\displaystyle \tg\alpha > \mu,\)

vagyis ha

\(\displaystyle \alpha >\arctg\mu\equiv\varepsilon.\)

Az \(\displaystyle \varepsilon\) szöget – érthető okokból – súrlódási határszögnek nevezik.

Az \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn mozgó test gyorsulása

\(\displaystyle a=g(\sin\alpha-\tg \varepsilon \cos\alpha)= \frac{g}{\cos\varepsilon}(\sin\alpha\cos\varepsilon-\cos\alpha\sin\varepsilon)=\frac{g}{\cos\varepsilon}\sin(\alpha-\varepsilon).\)

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy a súrlódásos lejtőn csúszó test mozgása éppen olyan, mintha \(\displaystyle g'=\cfrac{g}{\cos\varepsilon}\) nehézségi gyorsulás mellett egy súrlódásmentes lejtőn mozogna a test, amelynek hajlásszöge \(\displaystyle \varepsilon\)-nal kisebb, mint a tényleges \(\displaystyle \alpha\) hajlásszög. Ez utóbbi szögeltérést úgy is értelmezhetjük, hogy a \(\displaystyle \boldsymbol g'\) nehézségi gyorsulás nem függőlegesen lefelé mutató, hanem a függőlegessel \(\displaystyle \varepsilon\) szöget bezáró, a lejtő síkjának normálvektorához közelebb álló vektor (3. ábra).

3. ábra

Már Galilei is felismerte, hogy a \(\displaystyle P\) pontból különböző meredekségű, súrlódásmentes lejtőkön lecsúszó testek adott \(\displaystyle t\) idő alatt egy olyan kör pontjaiba jutnak el, amely kör illeszkedik a \(\displaystyle P\) pontra és a síkja függőleges. (Ma már – a Newton-törvényeket ismerve – azt is tudjuk, hogy a kör átmérője \(\displaystyle h'=g't^2/2\).)

Alkalmazzuk ezt a felismerést a súrlódó lejtő esetére.

4. ábra

A test \(\displaystyle t\) idő alatt

\(\displaystyle s=\dfrac{g't^2}{2}\sin(\alpha-\varepsilon)= \cfrac{h}{\cos\varepsilon}\sin(\alpha-\varepsilon)\)

utat tesz meg, és így a \(\displaystyle \boldsymbol g'\) irányú, \(\displaystyle h'\) átmérőjű Thalesz-kör zölden jelölt részének pontjaiba kerülhet (4. ábra). A kör középpontja a \(\displaystyle P\) pont alatt \(\displaystyle h/2\) mélységben és a \(\displaystyle P\)-n átmenő függőleges egyenestől

\(\displaystyle \frac{h'}{2}\sin \varepsilon=\frac {h}{2\cos\varepsilon}\sin\varepsilon=\frac{h}{2}\tg\varepsilon=\frac{h}{2}\mu\)

távolságra található, összhangban az I. megoldás eredményével.


Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bencz Benedek, Fehérvári Donát, Halász Henrik, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Tárnok Ede .
4 pontot kapott:4 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai