 |
A P. 5630. feladat (2025. február) |
P. 5630. Egy gázkeverék \(\displaystyle 7~\mathrm{g}\) nitrogént és \(\displaystyle 20~\mathrm{g}\) argont tartalmaz. Mekkora a gázkeverék állandó térfogaton, illetve állandó nyomáson vett fajhője?
Példatári feladat nyomán
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. március 17-én LEJÁRT.
Megoldás. A gáz két összetevőjére:
A gázkeverék belső energiája, tömege és a mólok száma:
$$\begin{gather*} E=E_\mathrm{N_2}+E_\mathrm{Ar}=\frac{5}{2}n_\mathrm{N_2}RT+\frac{3}{2}n_\mathrm{Ar}RT,\\ m=m_\mathrm{N_2}+m_\mathrm{Ar}=27\,\mathrm{g}=0{,}027\,\mathrm{kg},\\ n=n_\mathrm{N_2}+n_\mathrm{Ar}=0{,}75\,\mathrm{mol}. \end{gather*}$$Izochor folyamat esetén \(\displaystyle W=0\) és így \(\displaystyle Q=\Delta E\), amiből
\(\displaystyle c_V=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{\Delta E}{m\Delta T}=\frac{\left(\frac{5}{2}n_\mathrm{N_2}+\frac{3}{2}n_\mathrm{Ar}\right)R\Delta T}{m\Delta T}=50{,}9\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}\cdot R=423\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}.\)
Izobar folyamat esetén \(\displaystyle Q=\Delta E+W\), ahol
\(\displaystyle W=p\Delta V=nR\Delta T=\left(n_\mathrm{N_2}+n_\mathrm{Ar}\right)R\Delta T,\)
és így
\(\displaystyle c_p=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{\Delta E+W}{m\Delta T}=\frac{\left(\frac{7}{2}n_\mathrm{N_2}+\frac{5}{2}n_\mathrm{Ar}\right)R\Delta T}{m\Delta T}=78{,}7\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}\cdot R=654\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}.\)
Megjegyzések. 1. \(\displaystyle c_p\)-t úgyis megkaphatjuk \(\displaystyle c_V\)-ből, ha felhasználjuk a
\(\displaystyle c_p-c_V=\frac{R}{M}\)
Robert–Mayer-egyenletet. A gázkeverék átlagos moláris tömege:
\(\displaystyle M_\textrm{átl}=\frac{m}{n}=36\,\mathrm{\frac{g}{mol}}=0{,}036\,\mathrm{\frac{kg}{mol}},\)
amiből
\(\displaystyle c_p=c_V+\frac{R}{M_\textrm{átl}}=\left(50{,}9\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}+27{,}8\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}\right)\cdot R=423\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}+231\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}=654\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}.\)
2. A fajhőket úgy is megkaphatjuk, ha külön kiszámítjuk a nitrogén és az argon fajhőit, és azokat a tömegekkel súlyozva átlagoljuk:
$$\begin{gather*} c_{V,\mathrm{N_2}}=\frac{5}{2}\frac{R}{M_\mathrm{N_2}}=742\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_{V,\mathrm{Ar}}=\frac{3}{2}\frac{R}{M_\mathrm{Ar}}=312\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_V=\frac{m_\mathrm{N_2}c_{V,\mathrm{N_2}}+m_\mathrm{Ar}c_{V,\mathrm{Ar}}}{m}=423\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}, \end{gather*}$$illetve
$$\begin{gather*} c_{p,\mathrm{N_2}}=\frac{7}{2}\frac{R}{M_\mathrm{N_2}}=1039\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_{p,\mathrm{Ar}}=\frac{5}{2}\frac{R}{M_\mathrm{Ar}}=520\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_p=\frac{m_\mathrm{N_2}c_{p,\mathrm{N_2}}+m_\mathrm{Ar}c_{p,\mathrm{Ar}}}{m}=654\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}. \end{gather*}$$Statisztika:
57 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balázs Barnabás, Bálint Áron, Bélteki Teó, Bense Tamás, Benyó Júlia , Blaskovics Ádám, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fercsák Flórián, Földes Márton, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Klement Tamás, Kovács Tamás, Masa Barnabás, Misik Balázs, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Sárecz Bence, Sütő Áron, Szécsi Bence, Tóth-Tűri Bence, Ujvári Sarolta, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt. 3 pontot kapott: Bús László Teodor, Hübner Júlia, Orbán Jázmin, Páternoszter Tamás, Pituk Péter, Sipos Márton, Vincze Anna, Wolf Erik, Zámbó Luca. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2025. februári fizika feladatai