 |
A P. 5636. feladat (2025. március) |
P. 5636. Egy űrszonda a Föld \(\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}\)-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest \(\displaystyle nv\) sebességgel (\(\displaystyle n<1\)) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.
a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?
b) Mekkora lehet \(\displaystyle n\), hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?
(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket.)
Almár Iván feladata nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az űrszonda azután, hogy valamennyire eltávolodott a Földtől, Kepler I. törvénye szerint Nap körüli ellipszis pályára áll. Naphoz képesti sebessége
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_a=(1-n)v,\) |
lesz, ami az \(\displaystyle n<1\) feltétel miatt a Földével egyező irányú, de annál kisebb. Mivel a sebesség itt merőleges a Naphoz húzott vezérsugárra, ebben a pontban lesz a pálya aphéliuma, amit jelöljünk \(\displaystyle A\)-val. Az \(\displaystyle A\)-hoz húzott vezérsugár a Föld \(\displaystyle R\) pályasugarával egyenlő: \(\displaystyle r_a=R=1\,\mathrm{CSE}\). Keressük meg a \(\displaystyle P\) perihéliumhoz tartozó \(\displaystyle r_p\) távolságot. Ehhez írjuk fel az energia és a perdület megmaradását a két pontban:
$$\begin{gather*} \frac{1}{2}mv_a^2-\gamma\frac{Mm}{r_a}=\frac{1}{2}mv_p^2-\gamma\frac{Mm}{r_p},\tag{2}\\ mr_av_a=mr_pv_p,\tag{3} \end{gather*}$$ahol \(\displaystyle M\) a Nap, \(\displaystyle m\) a szonda tömege, és \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó. Az egyenletrendszer két ismeretlenje \(\displaystyle r_p\) és \(\displaystyle v_p\). A (2) egyenlet a pálya bármely két pontjára igaz, a (3) viszont csak \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle P\)-ben (mert a perdület kifejezésében általában szerepel szorzóként a sebesség és a vezérsugár bezárt szögének szinusza). Egyszerűsítsük mindkét egyenletet \(\displaystyle m\)-mel, és az előbbiben rendezzük a hasonló tagokat egy oldalra:
$$\begin{gather*} \frac{1}{2}(v_p^2-v_a^2)=\gamma M\left(\frac{1}{r_p}-\frac{1}{r_a}\right),\tag{4}\\ r_av_a=r_pv_p.\tag{5} \end{gather*}$$(4)-be helyettesítsük be az (5)-ből kifejezett \(\displaystyle r_p=r_a\tfrac{v_a}{v_p}\)-t, valamint a Föld pályájából felírható \(\displaystyle M\gamma=r_av^2\) összefüggést:
\(\displaystyle \frac{1}{2}(v_p^2-v_a^2)=r_av^2\left(\frac{v_p}{r_av_a}-\frac{1}{r_a}\right)=\frac{v^2}{v_a}(v_p-v_a).\)
Ez másodfokú egyenlet \(\displaystyle v_p\)-re, amelynek egyik, triviális gyöke a \(\displaystyle v_p=v_a\). Mivel mi a másikat keressük, oszthatunk \(\displaystyle (v_p-v_a)\)-val:
\(\displaystyle v_p+v_a=\frac{2v^2}{v_a}.\)
A perihéliumbeli sebesség tehát:
\(\displaystyle v_p=\frac{2v^2}{v_a}-v_a=\frac{2-(1-n)^2}{1-n}v,\)
ahol behelyettesítettük \(\displaystyle v_a\) (1)-gyel megadott értékét. Ezt és (1)-et visszahelyettesítve (5)-be megkapjuk a Nap perihéliumbeli távolságát:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle r_p=\frac{r_av_a}{v_p}=\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}R.\) |
a) (6) ismeretében már könnyen felírhatjuk a szonda pályájának nagytengelyét:
\(\displaystyle r_a+r_p=R+\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}R=\frac{2}{2-(1-n)^2}R=\frac{2}{2-(1-n)^2}\,\mathrm{CSE}\)
és pálya numerikus excentricitását:
\(\displaystyle e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=\frac{1-\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}}{1+\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}}=n(2-n).\)
b) A szonda pályája akkor éri el a Nap felszínét, ha \(\displaystyle r_p\le R_\mathrm{Nap}\). A legkisebb \(\displaystyle n\)-re, amivel el lehet érni a Nap felszínét, a (6) összefüggést felhasználva következő egyenletet írhatjuk fel:
\(\displaystyle \frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}=\frac{r_p}{R}=\frac{6{,}96\cdot 10^5\,\mathrm{km}}{149{,}6\cdot 10^6\,\mathrm{km}}=0{,}00465.\)
Ennek megoldása:
\(\displaystyle 1-n=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}00465}{1+0{,}00465}}=0{,}0962,\qquad n=0{,}904.\)
Ennél az \(\displaystyle n\) értéknél a szonda pályája érinti, a \(\displaystyle 0{,}904<n<1\) tartományban (feladat feltételei szerint \(\displaystyle n<1\)) pedig metszi a Nap felszínét.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Kovács Tamás, Masa Barnabás, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk. 4 pontot kapott: Gyenes Károly, Kis Boglárka 08. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai