A P. 5637. feladat (2025. március)

P. 5637. Egy hűtőláda belső terének hőkapacitása \(\displaystyle 4\cdot 10^5~\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\), hőmérsékletét a \(\displaystyle 20~{}^\circ\mathrm{C}\)-os szobában \(\displaystyle (-18\pm 1)~{}^\circ\mathrm{C}\)-on szeretnénk tartani. A hűtőgép motorja akkor kapcsol be, ha a belső tér hőmérséklete eléri a \(\displaystyle -17\,^\circ\mathrm{C}\) hőmérsékletet. A motor \(\displaystyle 15\) perces üzemideje után a belső tér hőmérséklete ismét eléri a \(\displaystyle -19~{}^\circ\mathrm{C}\) hőmérsékletet. Legalább mekkora a gép motorjának teljesítménye? (Tegyük fel, hogy a hűtőgép fordított körfolyamattal ideális Carnot-gépként működik.)

Közli: Szász Krisztián, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy Carnot körfolyamat során a rendszer egy \(\displaystyle T_1\) hőmérsékletű felső hőtartályból \(\displaystyle Q_1\) hőt vesz fel, melynek hasznosításával \(\displaystyle W\) munkát végez, miközben a \(\displaystyle T_2\) hőmérsékletű alsó hőtartálynak \(\displaystyle Q_2=Q_1-W\) hőt ad le. A fordított irányú folyamatban a befektetett munka árán az alsó hőtartályból elvont hő a végzett munkának megfelelő hőenergiával együtt a felső hőtartályban jelenik meg. Mivel az ideális folyamat reverzibilis, a megfelelő mennyiségek nagysága azonos. Az ideális Carnot ciklus hatásfoka

\(\displaystyle \eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1},\)

amiből

\(\displaystyle W=Q_1-Q_2=\frac{T_1-T_2}{T_2}Q_2.\)

Esetünkben egy lehűtési szakasz alatt a hűtendő tér (,,alsó hőtartály'') hőmérséklete változik, azaz a folyamat során ugyanannyi hő elvonásához változó mennyiségű munkát kell befektetnünk, de mivel a hőmérséklet változás kicsiny, jó közelítéssel számolhatunk a \(\displaystyle T_2=-18\,^{\circ}\mathrm{C}=255\,\mathrm{K}\) átlagos értékkel. Felső hőtartálynak a környezetet tekintjük, azaz \(\displaystyle T_1=20\,^{\circ}\mathrm{C}=293\,\mathrm{K}\)-ot veszünk. Ennek megfelelően

\(\displaystyle W=0{,}15\,Q_2.\)

Egy 15 perces, azaz \(\displaystyle 900\,\mathrm{s}\) hosszú hűtési szakasz alatt az elvonandó hő \(\displaystyle Q_2=4\cdot 10^5\,\mathrm{\tfrac{J}{K}}\cdot 2\,\mathrm{K}=8\cdot 10^5\,\mathrm{J}\), tehát \(\displaystyle W=1{,}2\cdot 10^5\,\mathrm{J}\), ami \(\displaystyle P=133\,\mathrm{W}\) motor teljesítményt jelent.

Megjegyzések. 1. A körfolyamatban résztvevő hűtőközeg számára a felső hőmérséklet valójában a hűtőgép hűtőrácsának a hőmérséklete, ez azonban működéskor mindig a környezet fölé melegszik, hogy a kialakuló hőmérséklet különbség biztosítsa a rácson a hőleadást. Hasonló módon a hűtőteret körülvevő csőhálózat hőmérséklete, azaz a hűtőközeg számára az alsó hőmérséklet alacsonyabb, mint a hűtőtéré. (Ennek is köszönhető, hogy a belső tér nem egyenletes hőmérsékletű, ahogy az a jegesedés nem egyenletes voltából is látszik.) Mindkét hatás a fent kiszámított értéknél nagyobb teljesítményt tesz szükségessé.

2. A láda belseje és a környezet közötti hővezetést elhanyagoljuk a lehűtési szakaszban.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balázs Barnabás, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Bor Noémi, Csiszár András, Klement Tamás, Masa Barnabás, Misik Balázs, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pituk Péter, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Sipos Márton, Tóth Bertalan, Zámbó Luca.
3 pontot kapott:	Hornok Máté, Kávai Ádám, Molnár Lili, Sütő Áron, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Varga 802 Zsolt, Wolf Erik.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai