 |
A P. 5640. feladat (2025. március) |
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az alábbi felülnézeti ábrán az akváriumot az \(\displaystyle O_1\) középpontú \(\displaystyle k_1\) kör szemlélteti, a búvár helyzetét pedig a \(\displaystyle B\) pont. Mivel a fény útja megfordítható, a kérdést feltehetjük így is: a \(\displaystyle B\) pontból vízszintesen kiinduló fénysugarak a \(\displaystyle k_1\) kör mely részén tudnak kilépni az akváriumból?
Egy fénysugár kilépésének feltétele, hogy a beesési szög kisebb legyen a teljes visszaverődés \(\displaystyle \alpha=\arcsin(1/n)\) határszögénél. (Könnyen belátható, hogy ez akkor is igaz marad, ha az akvárium falának fénytörését is figyelembe vesszük, feltéve, hogy a falvastagság sokkal kisebb az \(\displaystyle R\) sugár értékénél.) Tekintsünk egy olyan fénysugarat, amely éppen a kritikus \(\displaystyle \alpha\) beesési szögben, valamely \(\displaystyle P\) pontban érkezik az akvárium falához (lásd a kék töröttvonalat az ábrán). A \(\displaystyle P\) pont tehát rajta van a \(\displaystyle BO_1\) szakaszhoz tartozó, \(\displaystyle \alpha\) szögű \(\displaystyle k_2\) látószögköríven; jelöljük ennek középpontját \(\displaystyle O_2\)-vel! A \(\displaystyle k_2\) körív az eredeti \(\displaystyle k_1\) kört nem csak a \(\displaystyle P\) pontban, hanem egy másik \(\displaystyle Q\) pontban is metszi, azaz létezik egy másik fénysugár is (az ábrán a piros töröttvonal), amely a teljes visszaverődés határhelyzetében halad. A \(\displaystyle k_1\) kör (rövidebb) \(\displaystyle PQ\) íve mentén az akvárium falát elérő fénysugarak mind teljes visszaverődést szenvednek, mert ezekből a pontokból nézve a \(\displaystyle BO_1\) szakasz \(\displaystyle \alpha\)-nál nagyobb szögek alatt látszik. Ugyancsak nem jut ki fény a \(\displaystyle PQ\) körív \(\displaystyle BO_1\) tengelyre való tükrözésével kapott \(\displaystyle P'Q'\) köríven sem. Ha a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle PQ\) ívéhez tartozó középponti szöget \(\displaystyle 2\vartheta\) módon jelöljük, akkor a \(\displaystyle k_1\) kör kerületének
\(\displaystyle \eta=\frac{2\pi-4\vartheta}{2\pi}=1-\frac{2\vartheta}{\pi}\)
hányadát tudja fény elhagyni.
Hátra van még a \(\displaystyle \vartheta\) szög meghatározása. Ehhez először is vegyük észre, hogy az \(\displaystyle O_1O_2B\) háromszög egyenlőszárú, valamint a kerületi és középponti szögek tétele miatt \(\displaystyle O_1O_2B\angle=2\alpha\). Ennek segítségével a \(\displaystyle k_2\) körív sugara kiszámítható:
\(\displaystyle r=\frac{d}{2\sin\alpha}=\frac{nd}{2}.\)
Most tekintsük a szintén egyenlőszárú \(\displaystyle O_1O_2P\) háromszöget, melyben a \(\displaystyle \vartheta\) szög koszinusza így írható:
\(\displaystyle \cos\vartheta=\frac{R}{2r}=\frac{R}{nd}.\)
Mindezek felhasználásával a feladat kérdésére a válasz megadható:
\(\displaystyle \eta=1-\frac{2}{\pi}\arccos\frac{R}{nd}.\)
Ennek az eredménynek csak \(\displaystyle R/(nd)\leq 1\) esetén van értelme. Ha a búvár \(\displaystyle d\leq R/n\) távolságra van az akvárium szimmetriatengelyétől, akkor víszintesen körbenézve minden irányban kilát a tartályból, azaz \(\displaystyle \eta=1\).
Statisztika:
A P. 5640. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai