 |
A P. 5641. feladat (2025. március) |
P. 5641. A pozitív töltésű pionok \(\displaystyle M=139{,}57~\tfrac{\mathrm{MeV}}{c^2}\) (nyugalmi) tömegű instabil részecskék. A bomlásuk során leggyakrabban egy \(\displaystyle m=105{,}66~\tfrac{\mathrm{MeV}}{c^2}\) tömegű müon és egy nulla (vagy elhanyagolhatóan kicsi) tömegű neutrínó keletkezik.
Az egyik bomlásnál egy elhanyagolhatóan kicsiny impulzusú, állónak tekinthető müon keletkezett. Mekkora volt a bomlás előtt a pion mozgási energiája és a sebessége?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje a pion impulzusát \(\displaystyle p\). Ugyanennyi a neutrínó impulzusa is, hiszen a keletkezett müon áll, impulzusa nulla.
A relativisztikus összenergia és az impulzus közötti összefüggés a pionra:
\(\displaystyle E=\sqrt{\left(Mc^2\right)^2+\left(pc\right)^2},\)
ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban.
Célszerű, ha a továbbiakban nem az SI, hanem a részecskefizikában szokásos \(\displaystyle c=1\) egységrendszert használjuk. (Az SI rendszerre a dimenziókat figyelve térhetünk vissza.) Ebben a rendszerben tehát MeV/\(\displaystyle c^2\) helyett MeV-et írhatunk, és az energia-impulzus ,,diszperziós reláció'' így néz ki:
\(\displaystyle E_\textrm{pion}=\sqrt{M^2+p^2},\qquad E_\textrm{müon}=m\qquad\textrm{és}\qquad E_\textrm{neutrínó}=p.\)
A bomlásra érvényes a relativisztikus energiamegmaradás törvénye:
\(\displaystyle \sqrt{M^2+p^2}=m+p,\)
ahonnan algebrai átalakítások után
\(\displaystyle p=\frac{M^2-m^2}{2m}\)
következik, és innen kapjuk, hogy
\(\displaystyle E_\textrm{pion}=\frac{M^2+m^2}{2m},\)
a pion mozgási energiája pedig
\(\displaystyle E^\textrm{mozgási}=E_\textrm{pion}-M=\frac{(M-m)^2}{2m}.\)
A pion sebessége
\(\displaystyle v=\frac{p}{E_\textrm{pion}}=\frac{M^2-m^2}{M^2+m^2}.\)
Az ismert tömegadatok behelyettesítése és a dimenziók helyreállítása után kapjuk, hogy
\(\displaystyle E_\textrm{pion}=145{,}0\,\mathrm{MeV},\qquad E^\textrm{mozgási}=5{,}44\,\mathrm{MeV},\)
továbbá
\(\displaystyle v=0{,}27\,c\approx 81\,000\,\mathrm{\frac{km}{s}}.\)
Statisztika:
A P. 5641. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. márciusi fizika feladatai