 |
A P. 5643. feladat (2025. április) |
P. 5643. Az \(\displaystyle m\) tömegű vízzel telt vödröt felhúzzuk a \(\displaystyle h\) mélységű kerekes kútból, miközben a kötél egyenletesen feltekeredik az \(\displaystyle M\) tömegű hengerre. A legtetejéről elengedjük a vödröt. Mekkora gyorsulással esik le a vödör? Mennyi idő múlva és mekkora sebességgel csapódik a vízbe a vödör? A henger egyenletes tömegeloszlású, a vízzel telt vödröt pontszerű testnek tekinthetjük, a kötél tömegét elhanyagolhatjuk.
Adatok: \(\displaystyle m=11~\mathrm{kg}\), \(\displaystyle M=8~\mathrm{kg}\), \(\displaystyle h=5~\mathrm{m}\).
Közli: Cserti József, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás.
A vödör függőleges haladó mozgásának és a henger forgómozgásának mozgásegyenlete, valamint a kényszerfeltétel az ábra alapján:
$$\begin{gather*} ma=mg-K,\\ \Theta\beta=KR,\\ a=R\beta, \end{gather*}$$ahol \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}MR^2\). Rendezve
\(\displaystyle a=\frac{m}{m+\frac{1}{2}M}g=\frac{2m}{2m+M}g\approx 7{,}2\,\mathrm{m/s^2}.\)
A test ezzel a gyorsulással nyugalmi helyzetből indulva \(\displaystyle h\) utat tesz meg, ebből az esés ideje:
\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{a}}=\sqrt{\frac{(2m+M)h}{mg}}\approx 1{,}2\,\mathrm{s},\)
a becsapódás sebessége pedig:
\(\displaystyle v=at=\sqrt{2ah}=\sqrt{\frac{4mgh}{2m+M}}\approx 8{,}5\,\mathrm{m/s}.\)
A becsapódás sebessége megkapható a mechanikai energia megmaradásából is:
\(\displaystyle mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\Theta\omega^2,\)
ahol \(\displaystyle \omega\) a henger szögsebessége a becsapódáskor. A kényszerfeltétel alapján \(\displaystyle \omega=\tfrac{v}{R}\). Ezt, valamint \(\displaystyle \Theta\) kifejezését behelyettesítve, és az egyenletet rendezve:
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{mgh}{\frac{1}{2}\left(m+\frac{1}{2}M\right)}}=\sqrt{\frac{4mgh}{2m+M}}\approx 8{,}5\,\mathrm{m/s},\)
az előző megoldással összhangban.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balázs Barnabás, Bencze Mátyás, Benyó Júlia , Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csiszár András, Elekes Panni, Fekete Lúcia, Földes Márton, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Ligeti Barnabás, Misik Balázs, Molnár Lili, Papp Emese Petra, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Simon János Dániel, Sütő Áron, Szécsi Bence, Tóth Bertalan, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Varga Zétény, Vértesi Janka, Zámbó Luca. 3 pontot kapott: Csipkó Hanga Zoé , Hornok Máté, Magyar Levente Árpád, Nagy Gellért Ákos, Sipos Márton, Ujvári Sarolta, Varga 802 Zsolt, Vincze Anna, Wolf Erik, Zádori Gellért. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2025. áprilisi fizika feladatai