 |
A P. 5647. feladat (2025. április) |
P. 5647. Egy villanybojler néhány óra alatt melegíti fel a \(\displaystyle 20~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-os (szobahőmérsékletű) vizet \(\displaystyle 60~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-ra. Ha ezután egyáltalán nem folyatunk melegvizet, és a készüléket lekapcsoljuk a hálózatról, a víz hőmérséklete kb. \(\displaystyle 7\) nap alatt csökken \(\displaystyle 40~{}^{\circ}\mathrm{C}\)-ra. Ha melegen tartjuk a bojlerben a vizet, de nem használjuk, akkor hány napos elektromos fogyasztás kerül ugyanannyiba, mint a szobahőmérsékletű víz egyszeri felmelegítése? (Feltételezhetjük, hogy a bojler hőleadása arányos a víz és a környezet hőmérséklet-különbségével.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a bojlerben lévő víz és a környezet hőmérsékletének különbségét \(\displaystyle T\)-vel. A víz termikus energiájának megváltozása arányos a hőmérséklet-változással: \(\displaystyle \Delta E=C\,\Delta T\), az időegységenként leadott hő pedig arányos \(\displaystyle T\)-vel. Ebből a két összefüggésből kapjuk, hogy a használaton kívüli, kikapcsolt bojler vízhőmérsékletének változási sebessége (csökkenése) \(\displaystyle T\)-vel arányos:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{\Delta T}{\Delta t}=-\lambda T(t),\) |
ahol \(\displaystyle \lambda\) egy (a bojler hőkapacitásától és a hőleadási tényezőtől függő) állandó.
Az (1) egyenlet ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások törvénye, a megoldás is hasonló:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T(t)=T_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}.\) |
Itt \(\displaystyle T_0\) a kezdeti, \(\displaystyle t=0\) időponthoz tartozó hőmérséklet-különbség, esetünkben \(\displaystyle 60-20=40\,^\circ\mathrm{C}\). A \(\displaystyle \lambda\) ,,bomlási állandót'' a hőmérséklet-különbség feleződésének ismert idejéből számíthatjuk ki:
\(\displaystyle \frac{1}{2}T_0=T_0\,\mathrm{e}^{-\lambda\cdot\textrm{7 nap}},\)
innen
\(\displaystyle \lambda=\frac{\ln 2}{\textrm{7 nap}}\approx 0{,}1\,\frac{1}{\textrm{nap}}.\)
Az elektromos fogyasztás \(\displaystyle F\) költsége a melegítésre fordított energiával, az pedig a hőmérséklet-változással arányos:
\(\displaystyle F=k\cdot\Delta T.\)
(Ez az összefüggés még akkor is igaz, ha a villanyszámla járulékos költségeket is tartalmaz, amennyiben azok is arányosak a ténylegesen ,,elfogyasztott'' elektromos energiával.)
A bojler egyszeri felfűtésének költsége ezek szerint
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle F_1=k\,T_0.\) |
(A víz felmelegítése közben leadott hő sokkal kisebb, mint a felfűtés során átadott hő, hiszen a felfűtés ideje csak néhány óra, a leadott hő pedig több nap alatt lesz számottevő.)
A \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű bojler lehűlésének pillanatnyi sebessége (1) szerint \(\displaystyle \lambda T_0\). Ez időben állandónak tekinthető, hiszen a bojler ki-be kapcsolgató termosztátja nem engedi a hőmérsékletet számottevően \(\displaystyle T_0\) alá csökkenni. Az elektromos fogyasztás a hőveszteséget pótolja, a költsége tehát \(\displaystyle t^*\) idő alatt
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle F_2=k\,\lambda T_0\,t^*.\) |
(3) és (4) összevetéséből kapjuk, hogy \(\displaystyle F_1=F_2\) akkor teljesül, ha
\(\displaystyle t^*=\frac{1}{\lambda}\approx 10\,\textrm{nap}.\)
Megjegyzés. Tehát ha 10 napnál tovább nem használunk melegvizet, akkor jobban megéri kikapcsolni a bojlert, és szükség esetén visszakapcsolni.
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Csipkó Hanga Zoé , Erdélyi Dominik, Kiss 131 Adorján Timon, Molnár Lili, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2025. áprilisi fizika feladatai