A P. 5651. feladat (2025. április)

P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?

KVANT feladat

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a kérdéses pontot \(\displaystyle P\)-vel! A töltött háromszög lapnak a \(\displaystyle P\)-n átmenő, a lapra merőleges egyenes egy úgynevezett három fogású szimmetria tengelye, azaz a háromszöget ekörül a tengely körül \(\displaystyle 2\pi/3\)-mal vagy \(\displaystyle 4\pi/3\)-mal elforgatva nem változhat meg a tengelyen mérhető elektromos térerősség. Következésképp annak a tengely irányába kell mutatnia. Tekintsük a háromszög egy kicsiny \(\displaystyle \Delta A\) nagyságú darabját! Ennek a \(\displaystyle \Delta Q=\sigma\Delta A\) töltése a \(\displaystyle P\)-ben olyan \(\displaystyle \Delta E\) térerősséget hoz létre, aminek a lapra merőleges komponense

\(\displaystyle \Delta E_\perp=\Delta E\cos\vartheta=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\Delta A}{r^2}\cos\vartheta.\)

Itt \(\displaystyle r\) a felület darab távolsága \(\displaystyle P\)-től, \(\displaystyle \vartheta\) pedig az adott szakasz irányának a síklap normálisával bezárt szöge, ahogy az ábra mutatja.

(A \(\displaystyle \Delta E_\parallel=\Delta E\sin\vartheta\) komponensekkel nem kell foglalkoznunk, mert azok eredője az említett szimmetria miatt eltűnik.) Mivel \(\displaystyle \Delta A\cos\vartheta=\Delta A'\) a \(\displaystyle \Delta A\)-nak a \(\displaystyle P\) irányára merőleges vetülete,

\(\displaystyle \frac{\Delta A\cos\vartheta}{r^2}=\Delta\Omega\)

az a térszög, ami alatt a \(\displaystyle \Delta A\) a \(\displaystyle P\)-ből látszik sr-ben (szteradiánban) kifejezve. Így a teljes térerősség

\(\displaystyle E=\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\sum\Delta\Omega=\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\Omega,\)

ahol \(\displaystyle \Omega\) a teljes háromszöghöz tartozó térszög. Könnyen beláthatjuk, hogy a háromszögünk és a \(\displaystyle P\) pont alkotta tetraéder pontosan egy kocka levágott csúcsa, amit a szabályos mellett három egyenlő szárú, derékszögű háromszög alkot. Következésképpen a \(\displaystyle P\)-nél lévő csúcs térszöge a teljes \(\displaystyle 4\pi\) térszög nyolcada, azaz

\(\displaystyle \Omega=\frac{\pi}{2},\)

azaz

\(\displaystyle E=\frac{\sigma}{8\varepsilon_0}.\)

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Kiss 131 Adorján Timon, Papp Emese Petra, Szécsi Bence, Tóthpál-Demeter Márk.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. áprilisi fizika feladatai