A P. 5652. feladat (2025. május)

P. 5652. Egy \(\displaystyle H\) magasságú toronyból \(\displaystyle \alpha\) szög alatt felfelé eldobunk egy követ. A becsapódás előtt a kő sebességvektora \(\displaystyle \beta\) szöget zár be a vízszintessel. A  toronytól milyen messze csapódott be a kő? A közegellenállást hanyagoljuk el.

KVANT feladat

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. június 16-án LEJÁRT.

I. megoldás. A kő vízszintes sebessége, amely a mozgás során végig állandó, legyen \(\displaystyle v_x\), a becsapódás keresett távolsága pedig \(\displaystyle x\). Ez alapján a kő

\(\displaystyle t=\frac{x}{v_x}\)

idő múlva csapódik a talajba. A kő az eldobás pillanatában \(\displaystyle y(0)=H\) magasságban van, és függőleges sebessége \(\displaystyle v_y(0)=v_x\tg\alpha\), míg a becsapódáskor \(\displaystyle y(t)=0\) és \(\displaystyle v_y(t)=-v_x\tg\beta\) (a negatív előjel abból származik, hogy \(\displaystyle v_y(t)<0\)). Mindezek alapján két egyenletet írhatunk fel:

A második alapján

\(\displaystyle \frac{g}{v_x^2}x=\tg\alpha+\tg\beta,\)

és ezt az elsőbe behelyettesítve, majd rendezve:

Megjegyzések. 1. A megoldásunk alapján:

\(\displaystyle v_x=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}},\)

és ebből a mozgáshoz szükséges kezdősebesség:

\(\displaystyle v_0=\frac{v_x}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}.\)

2. Ha \(\displaystyle H>0\) (azaz valóban egy toronyból és nem egy gödörből dobtuk el a követ), akkor csak \(\displaystyle \beta>\alpha\) esetben kapunk pozitív távolságot. Ez érthető, hiszen amikor a kő már lefelé haladva eléri a \(\displaystyle H\) magasságot, akkor vízszintessel bezárt szöge éppen \(\displaystyle \alpha\), és ezután egyre meredekebb szögben esik, tehát valóban \(\displaystyle \beta>\alpha\).

\(\displaystyle \beta=\alpha\) estében \(\displaystyle x\to\infty\), ehhez azonban \(\displaystyle v_0\to\infty\) kezdősebesség kellene. Ez is érthető: nagyon nagy távolság esetében \(\displaystyle H\) elhanyagolható a pálya magasságához képest, a mozgás olyan, mintha a talajról dobnánk el a követ, amikor is valóban \(\displaystyle \beta=\alpha\).

II. megoldás. Két trükk alkalmazásával egyszerűvé válik a megoldás. Elsőként kihasználjuk azt, hogy a veszteség nélküli hajítás megfordítható mozgás, ami visszafelé is ugyanannyi ideig tart. A mozgás leírására pedig az \(\displaystyle \alpha\), illetve \(\displaystyle \beta\) szögű ferdeszögű koordináta-rendszert érdemes használnunk, ahogy az ábrán látható.

Pirossal azt jelöltük, hogy a kő \(\displaystyle v_0\) sebességgel, \(\displaystyle \alpha\) szögű irányba, egyenes vonalú, egyenletes mozgással \(\displaystyle v_0t\) utat tesz meg, miközben függőlegesen szabadon esik \(\displaystyle \tfrac{g}{2}t^2\) távolságot. A kő függőleges elmozdulása így írható fel:

\(\displaystyle \frac{g}{2}t^2=x\tg\alpha+H.\)

Kékkel a visszafelé lejátszódó folyamatot ábrázoltuk, amikor a kő \(\displaystyle v\) sebességgel, \(\displaystyle \beta\) szögű irányba, egyenletes mozgással \(\displaystyle vt\) utat tesz meg, és eközben szintén \(\displaystyle \tfrac{g}{2}t^2\) távolságot esik, ami most így írható fel:

\(\displaystyle \frac{g}{2}t^2=x\tg\beta-H.\)

A két kifejezést egyenlővé téve megkapjuk a kérdéses \(\displaystyle x\) távolságot:

\(\displaystyle x\tg\alpha+H=x\tg\beta-H\qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{2H}{\tg\beta-\tg\alpha}.\)

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Blaskovics Ádám, Csiszár András, Elekes Panni, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Klement Tamás, Konkoly Zoltán, Kovács Tamás, Misik Balázs, Molnár Lili, Papp Emese Petra, Sipos Márton, Szécsi Bence, Ujpál Bálint, Zámbó Luca.
3 pontot kapott:	Csipkó Hanga Zoé , Simon János Dániel, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Wolf Erik.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2025. májusi fizika feladatai