A P. 5653. feladat (2025. május)

P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.

a) Milyen messze volt a két jármű a kereszteződéstől kezdetben?

b) Mekkora lesz a két jármű közötti legkisebb távolság?

Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.

1897. évi érettségi feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az autó pozícióját az időmérés kezdetekor \(\displaystyle x\)-szel, a motorosét \(\displaystyle y\)-nal, a megfelelő sebességeket pedig \(\displaystyle v_x\), illetve \(\displaystyle v_y\)-nal! (\(\displaystyle v_x=25\,\mathrm{m/s}\), \(\displaystyle v_y=20\,\mathrm{m/s}\).) A feltételek szerint

(Itt \(\displaystyle t_1=5\,\mathrm{s}\).) A két egyenlet különbsége egy lineáris összefüggést ad \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) között, amely \(\displaystyle y\)-ra rendezve

\(\displaystyle y=\frac{D^2-2(v_xt_1)x}{2(v_yt_1)},\)

ahol a rövidebb írásmód kedvéért bevezettük a \(\displaystyle D^2=d_0^2-d_1^2+\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)\,(=110690\,\mathrm{m^2})\) jelölést. Ezt az első egyenletbe helyettesítve a

\(\displaystyle 4\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)x^2-4D^2(v_xt_1)x+D^4-4d_0^2(v_yt_1)^2=0\)

egyenletet kapjuk, amelynek a két megoldása

\(\displaystyle x=\frac{D^2(v_xt_1)\pm(v_yt_1)\sqrt{4d_0^2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)-D^4}}{2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)}\quad\Rightarrow\quad x_1=288\,\mathrm{m},\quad x_2=252\,\mathrm{m}.\)

Az \(\displaystyle y\) meghatározására több lehetőségünk is van, de legegyszerűbb a már megkapott lineáris kifejezést használnunk. Behelyettesítés és átrendezés után

\(\displaystyle y=\frac{D^2(v_yt_1)\mp(v_xt_1)\sqrt{4d_0^2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)-D^4}}{2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)}=\quad\Rightarrow\quad y_1=193\,\mathrm{m},\quad y_2=239\,\mathrm{m}.\)

a) Megoldásként tehát két \(\displaystyle x,y\) párt kaptunk: \(\displaystyle x_1=288\,\mathrm{m}, y_1=193\,\mathrm{m}\), illetve \(\displaystyle x_2=252\,\mathrm{m}, y_2=239\,\mathrm{m}\).

Megjegyzés. A két megoldás léte nem meglepő: a feladat feltételeit megjelenítő első két egyenlet két kör, amelyeknek általában vagy nincs metszéspontjuk, vagy kettő van (az, hogy pont egy közös pont legyen – érintés – igen speciális eset). A két megoldás fizikailag is könnyen értelmezhető. Ha mondjuk az időmérés kezdetekor, amikor a járművek a kereszteződés felé haladnak, a helyzetük az \(\displaystyle x_1,y_1\) megoldással jellemezhető, akkor a járművek egymástól való távolsága még egyszer, a kereszteződéstől távolodva is felveszi a \(\displaystyle d_0\) értéket, és ekkor a kereszteződéstől mért távolságuk éppen \(\displaystyle x_2\) és \(\displaystyle y_2\). Ezt onnan tudjuk, hogy az \(\displaystyle x_2\)-vel és \(\displaystyle y_2\)-vel jellemzett pontok távolsága is \(\displaystyle d_0\), és a járművek egyszerre, a

\(\displaystyle t^\star=\frac{x_1+x_2}{v_x}=\frac{y_1+y_2}{v_y}=\frac{D^2}{\left(v_x^2+v_y^2\right)t_1}=21,6\,\mathrm{s}\)

időpontban érnek ezekbe a pontokba. A folyamat időben fordított irányban is végbemehet, a két eset abban különbözik egymástól, hogy az egyikben a motoros, a másikban az autó megy át hamarabb a kereszteződésen.

b) A személyautó és a motor \(\displaystyle d\) távolságának a négyzetét a \(\displaystyle t\) idő függvényében a

\(\displaystyle d^2=\left(x-v_xt\right)^2+\left(y-v_yt\right)^2=\left(v_x^2+v_y^2\right)t^2-2(xv_x+yv_y)t+(x^2+y^2)\)

másodfokú kifejezés adja meg, amelyben az \(\displaystyle x,y\) értékpárt az \(\displaystyle x_1,y_1\) vagy \(\displaystyle x_2,y_2\) értékpárok egyike adja. Mivel a két eset lényegében egymásnak időben fordított irányú ,,lejátszása'', bármelyiket választjuk, ugyanazt a

\(\displaystyle d^2=\left(v_x^2+v_y^2\right)t^2-\frac{D^2}{t_1}t+d_0^2\)

kifejezést kapjuk. Ez a függvény egy fölfelé nyíló parabola, amely a minimális értékét a csúcsánál veszi fel. Ezt megkereshetjük pl. teljes négyzetté alakítással vagy deriválással, de a megjegyzésben írottak alapján rögtön meg is adhatjuk: a távolság-négyzet értéke \(\displaystyle t=0\)-ban és a \(\displaystyle t=t^\star\) értéknél egyaránt \(\displaystyle d_0^2\), tehát a parabola csúcsa a kettő között középen \(\displaystyle t=t^\star/2\)-nél van. Ezt behelyettesítve

\(\displaystyle d_\mathrm{min}^2=d_0^2-\frac{D^4}{4\left(v_x^2+v_y^2\right)t_1^2}.\)

Ebből \(\displaystyle d_\mathrm{min}=30\,\mathrm{m}\).

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Blaskovics Ádám, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Fekete Lúcia, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Konkoly Zoltán, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Bús László Teodor, Kovács Tamás, Páternoszter Tamás, Sütő Áron, Ujvári Sarolta, Vértesi Janka.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. májusi fizika feladatai