A P. 5657. feladat (2025. május)

P. 5657. Egy palackban háromszor akkora nyomású levegő van, mint a környezetében. A tartályon nyitunk egy lyukat. Azt tapasztaljuk, hogy a palackban lévő gáz gyorsan lehűl, majd lassan visszamelegszik a kezdeti hőmérsékletre.

a) Mekkora hőmérsékletre hűl le a gáz a kezdeti \(\displaystyle 300~\mathrm{K}\)-ről?

b) A palackban lévő eredeti gáz hány százaléka távozik a gyors lehűlés,

c) illetve a lassú melegedés során?

Tételezzük fel, hogy a palackba kívülről nem jut be levegő.

Közli: Simon Péter, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás. a) A gáz adiabatikusan tágul, nyomása harmadára csökken, eközben lehűl és térfogata megnő – így a gáz egy része távozik a tartályból. Adiabatikus állapotváltozásnál \(\displaystyle T\sim p^\frac{\kappa-1}{\kappa}\), ahol \(\displaystyle \kappa\) a fajhőhányados. A zömében kétatomos molekulákból álló levegő esetében \(\displaystyle \kappa=\tfrac{7}{5}\). Ez alapján a keresett hőmérséklet:

\(\displaystyle T_1=\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^\frac{\kappa-1}{\kappa}T_0=\left(\frac{1}{3}\right)^\frac{2}{7}\cdot 300\,\mathrm{K}\approx 219\,\mathrm{K}.\)

b) Eközben \(\displaystyle V\sim p^{-\frac{1}{\kappa}}\), amiből a gáz fajlagos térfogatváltozása:

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_0}=\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^{-\frac{1}{\kappa}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{5}{7}}\approx 2{,}192.\)

Eszerint a gáz gyors lehűlés közben szabadba távozó hányada:

\(\displaystyle \frac{2{,}192-1}{2{,}192}=0{,}544=54{,}4\%.\)

c) Ezután a gáz bent maradó \(\displaystyle 1-0{,}544=0{,}456\) hányada lassan, izobár körülmények között melegszik vissza az eredeti \(\displaystyle T_0=300\,\mathrm{K}\) hőmérsékletre, és eközben tovább tágul. Ekkor \(\displaystyle V\sim T\), így a gáz fajlagos térfogatváltozása:

\(\displaystyle \frac{V_2}{V_1}=\frac{T_0}{T_1}=1{,}369.\)

Eszerint az eredeti gázmennyiség lassú felmelegedés alatt szabadba távozó hányada

\(\displaystyle \frac{1{,}369-1}{1{,}369}\cdot 0{,}456=0{,}123=12{,}3\%.\)

Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy a folyamat végén a gáz térfogata és hőmérséklete megegyezik a kiinduló állapottal, nyomása harmadára csökkent, tehát összesen a mennyiség kétharmadának, \(\displaystyle 66{,}7\%\)-ának kellett távoznia a palackból. Ebből adódik, hogy a felmelegedés alatt kiáramló hányad \(\displaystyle 66{,}7\%-54{,}4\%=12{,}3\%\).

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csiszár András, Erdélyi Dominik, Kovács Tamás, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Ujpál Bálint, Varga 802 Zsolt, Wolf Erik.
4 pontot kapott:	Bélteki Teó, Bor Noémi, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Pituk Péter, Sipos Márton, Tóthpál-Demeter Márk.
3 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2025. májusi fizika feladatai