 |
A P. 5658. feladat (2025. május) |
P. 5658. Ha egy gömb alakú testet (pl. egy nagyobb acélgolyót) egy üres tálba helyezünk és lefényképezzük, a képen (a fényképezés irányától függetlenül) mindig egy kör jelenik meg (1. ábra). Ha az edénybe annyi vizet töltünk, hogy az kicsit ellepje a golyót, majd új felvételt készítünk, a képen egy ellipszist látunk (2. ábra). A 3. ábráról, amely kinagyítva mutatja a golyót, könnyen leolvasható a torzulás méretaránya. Határozzuk meg, hogy mekkora szöget zárt be a fényképezőgép optikai tengelye a vízszintessel, amikor a felvétel készült. (A fényképezőgép és a golyó távolsága sokkal nagyobb, mint a golyó átmérője.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. június 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A fényképen a golyó képének méretét a fényképezőgépbe jutó fénysugarak legnagyobb szögeltérése határozza meg.
Tekintsük azokat a fénysugarakat, amelyek a golyó középpontjára és a fényképezőgép kamerájára illeszkedő, függőleges síkban haladnak. Ezek közül a fényképezőgépbe érkezve azok zárnak be legnagyobb szöget egymással, amelyeknek a vízben haladó része éppen érinti az \(\displaystyle R\) sugarú golyó kör alakú síkmetszetét. Az 1. ábrán és annak kinagyított részletén, a 2. ábrán a ,,szélső'' fénysugarakat és azok töréspontjait ábrázoltuk (a jobb láthatóság érdekében erősen torzított méretarányokkal.)
1. ábra
Legyen a fényképezőgép \(\displaystyle C\) kamerájának és a vízből kilépő egyik fénysugár \(\displaystyle E\) töréspontjának távolsága \(\displaystyle EC=d\), a kamerába érkező fénysugarak (radiánban mért) szöge pedig \(\displaystyle \Delta\alpha=BCE\angle\). Mivel \(\displaystyle d\gg R\), állíthatjuk, hogy \(\displaystyle \Delta\alpha\ll 1\).
2. ábra
A fénysugarak a vízfelülethez érve megtörnek. Ha a beesési szögek \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \beta-\Delta\beta\), a törési szögek pedig \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \alpha-\Delta\alpha\), akkor a Snellius–Descartes-törvény szerint fennáll
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n,\) |
valamint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{\sin(\alpha-\Delta\alpha)}{\sin(\beta-\Delta\beta)}=n,\) |
ahol \(\displaystyle n=\frac{4}{3}\) a víz törésmutatója.
A (2) egyenletből következik, hogy \(\displaystyle \Delta\beta\ll 1\), és emiatt az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DQ\) egyenesek majdnem párhuzamosak, tehát a \(\displaystyle BQ\) távolság jó közelítéssel \(\displaystyle 2R\)-nek vehető. Másrészt a \(\displaystyle PE\) távolság jól közelíthető a \(\displaystyle d\) sugarú és \(\displaystyle \Delta\alpha\) szögű körív hosszával, azaz \(\displaystyle PE\approx d\,\Delta\alpha.\)
A \(\displaystyle BE\) szakasz hossza (az említett közelítésekkel) kétféle képen is kiszámítható:
\(\displaystyle BE=\frac{PE}{\cos\alpha}=\frac{d\,\Delta\alpha}{\cos\alpha},\)
másrészt
\(\displaystyle BE=\frac{BQ}{\cos\beta}=\frac{2R}{\cos\beta}.\)
Ezek szerint a fényképezőgépbe érkező fénysugarak látószöge
\(\displaystyle \Delta\alpha=\frac{2R}{d}\,\frac{\cos\alpha}{\cos\beta},\)
ami (1) felhasználásával így is írható:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \Delta\alpha=\frac{2R}{d}\sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\frac{\sin^2\alpha}{n^2}}}.\) |
A fényképen a golyó ,,függőleges mérete'' ezzel a látószöggel arányos.
Határozzuk meg a golyó képének ,,vízszintes'' méretét is. A 3. ábra felülnézetből mutatja a golyó felületéről induló és a fényképezőgépbe érkező két szélső fénysugarat. Ezek a sugarak a víz felszínénél (az \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontoknál) megtörnek, de ez a vetületi ábrán nem látszik.
3. ábra
A fényképezőgépbe a két fénysugár valamekkora \(\displaystyle \Delta\varphi\) szögeltéréssel érkezik, a kép vízszintes mérete ezzel a látószöggel arányos. Mivel \(\displaystyle d\gg R\), nyilván \(\displaystyle \Delta\varphi\ll 1,\) és így \(\displaystyle UV\approx 2R,\) tehát jó közelítéssel
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \Delta\varphi=\frac{2R}{d}.\) |
A golyó képének torzítása a
\(\displaystyle K=\frac{\textrm{függőleges méret}}{\textrm{vízszintes méret}}=\frac{\Delta\alpha}{\Delta\varphi}\)
arányszámmal jellemezhető. (3) és (4) felhasználásával kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (5).\) | \(\displaystyle K=\sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\frac{\sin^2\alpha}{n^2}}}.\) |
Függőlegesen lefelé fényképezve a golyót \(\displaystyle \alpha=0,\) ilyenkor \(\displaystyle K=1,\) tehát a képe kör. Ugyancsak torzításmentes lenne a kép minden \(\displaystyle \alpha\)-ra, ha a törésmutató \(\displaystyle n=1\) lenne, vagyis ha a tálban nem volna víz. Ezt a helyzetet mutatja a kitűzés 1. ábrája. Ugyanezen az ábrán ellenőrizhetjük, hogy nem torzít-e a fényképezőgépünk vagy a monitor, esetleg a nyomtatónk. (Nem tapasztaltunk ilyen hibát.)
Esetünkben \(\displaystyle n=4/3\), és így az \(\displaystyle \alpha\) szög szinusza (5)-ből kifejezve
\(\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{\frac{1-K^2}{1-\frac{9}{16}K^2}}.\)
A feladat kitűzési 3. fényképéről lemérhetők a golyó képének méretei, és ebből kiszámítható, hogy \(\displaystyle K\approx 0{,}76\pm 0{,}02\), és ennek megfelelően (5) szerint
\(\displaystyle \sin\alpha=0{,}79,\qquad\textrm{tehát}\qquad\alpha\approx 52^\circ.\)
A fényképezőgép kamerájának optikai tengelye tehát \(\displaystyle 90^\circ-\alpha=38^\circ\)-os szöget zár be a vízszintessel.
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Sütő Áron. 4 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Ujvári Sarolta. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2025. májusi fizika feladatai